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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

AlgZahlth I

AlgZahlth I

Aufgaben

Algebraische Zahlentheorie I (Wintersemester 2005/06)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Claus Günther Schmidt, Prof. Dr. Fabian Januszewski
Veranstaltungen: Vorlesung (1024), Übung (1025)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik, Informatik (5.-9. Semester)

Die Algebraische Zahlentheorie beschreibt strukturelle Eigenschaften von algebraischen Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen und von Funktionenkörpern.

Termine
Vorlesung:	Dienstag 9:45-11:15	Seminarraum 31	Beginn: 25.10.2005, Ende: 16.2.2006
	Donnerstag 9:45-11:15	Seminarraum 31
Übung:	Mittwoch 15:45-17:15	Seminarraum 13	Beginn: 26.10.2005, Ende: 15.2.2006

Lehrende
Dozent	Prof. i. R. Dr. Claus Günther Schmidt
	Sprechstunde: Nach Vereinbarung
	Zimmer 0.013 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: Claus.Schmidt@kit.edu
Übungsleiter	Prof. Dr. Fabian Januszewski
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de

Übung

Die Übung wurde ab sofort in den Raum S13 verlegt.

Die Übungsblätter finden sich auf einer eigenen Seite.

Inhalt

Die Vorlesung behandelt zunächst algebraische Zahlen, das sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Jede algebraische Zahl $\alpha$ erzeugt einen Erweiterungskörper $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$ mit einem zugehörigen Ganzheitsring $\mathcal{O}$ , welcher als Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen anzusehen ist.
Strukturuntersuchungen in diesem Ring führen mittels Minkowskis Theorie der Geometrie der Zahlen zur Beschreibung der Idealklassengruppe $\mathcal{C}l(\mathcal{O})$ und der Einheitengruppe $\mathcal{O}^\times$ . Weitere Themen sind Hilbertsche Verzweigungstheorie in Galoisschen Körpererweiterungen, Bewertungstheorie, Komplettierungen und lokale Körper. Zu letzteren gehören beispielsweise die reellen und die p-adischen Zahlen mit ihren endlichen Erweiterungen.

Vorkenntnisse aus der Algebra I sind nützlich. Es erscheint wöchentlich ein Übungsblatt.

Literaturhinweise

Borewics,Safarevic: Zahlentheorie,
Cassels,Fröhlich: Algebraic Number Theory,
Hasse: Zahlentheorie,
Ireland,Rosen: A classical introduction to Modern Number Theory,
Lang: Algebraic Number Theory,
Lorenz: Algebraische Zahlentheorie,
Neukirch: Algebraische Zahlentheorie