Webrelaunch 2020

Algebraische Zahlentheorie I (Wintersemester 2009/10)

  • Dozent*in: PD Dr. Stefan Kühnlein
  • Veranstaltungen: Vorlesung (1024)
  • Semesterwochenstunden: 4
  • Hörerkreis: Mathematik, Informatik (5.-27. Semester)

Die algebraische Zahlentheorie behandelt Eigenschaften algebraischer Zahlen vom algebraischen Standpunkt aus. Ich will in der Vorlesung versuchen, die Grundzüge dieser Theorie zu klären. Da eine Übung nicht angeboten wird, will ich außerdem gelegentliche Übungsaufgaben in die Vorlesung mit einbauen. Die Vorlesung baut auf die Algebra I auf und setzt kaum etwas von Algebra II voraus. Keine Kategorien, keine Darstellungen, keine Kohomologie...

Im Sommer 2010 wird sich eventuell ein Seminar anschließen.

Termine
Vorlesung: Montag 11:30-13:00 S33 (alter Mathebau)
Donnerstag 9:45-11:15 S33
Lehrende
Dozent PD Dr. Stefan Kühnlein
Sprechstunde: Mi, 10.00 - 12.00 Uhr
Zimmer 1.032 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: stefan.kuehnlein@kit.edu

Nach einer kurzer Einführungsphase, in der die Hörer hinsichtlich der algebraischen Grundlagen auf einen gemeinsamen Stand gebracht werden sollen (hier geht es um Algebren und Ordnungen), stehen die folgenden Begriffe im Mittelpunkt der Veranstaltung:

  • Ganzheitsringe in Zahlkörpern: Das ist jeweils die eindeutige Maximalordnung.
  • Dedekindringe und ihre Idealklassengruppe: Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ganzheitsringe. Hier lassen sich die "gebrochenen" Ideale schön multiplizieren. Sie bilden eine frei abelsche Gruppe mit den Primidealen als Basis.
  • Minkowskis Gitterpunktsatz und arithmetische Konsequenzen daraus: Endlichkeit der Klassenzahl und Struktur der Einheitengruppe des Ganzheitsrings.
  • Zerlegungsverhalten von Primzahlen: Jede Primzahl p erzeugt ein Ideal im Ganzheitsring, das sich als Produkt von Primidealpotenzen zerlegen lässt. Die Struktur dieser Zerlegung motiviert eine Aufteilung der Primzahlen in drei Sorten.
  • Trägheits- und Zerlegungsgruppe, Frobeniuselemente: Hier wird die Galoistheorie benutzt, um die Unterteilung aus dem vorherigen Punkt mit mehr Struktur zu versehen.
  • Bewertungstheorie und lokale Körper: Hierzu gehören vor allem die endlichen Erweiterungen der Körper der p-adischen Zahlen, die wir erst einmal kennenlernen müssen.
  • Der Adelering und die Idelegruppe: Der Adelering eines Zahlkörpers wird vor allem dann zu einem unerlässlichen Hilfsmittel, wenn sein Ganzheitsring kein Hauptidealring mehr ist.

Im hinteren Teil wird insbesondere auch die Galoistheorie für Zahlkörper vertieft.

Sie sehen daran, dass ein guter Teil auch in eine fortgeschrittene Algebravorlesung passen würde.

Prüfung

Studienbegleitende Prüfungen werden ziemlich sicher in mündlicher Form stattfinden.

Literaturhinweise

Ab und zu werde ich vielleicht einen Blick in meine Algebraskripte empfehlen, die finden sich hie und
da.

Zunächst seien dann erst einmal die folgenden Bücher genannt.

  • Cassels / Fröhlich: Algebraic Number Theory. Dies ist ein "Sammelband" aus den 60er Jahren, in dem damals der Stand der Theorie allgemein zugänglich dokumentiert wurde und der in John Tate's Doktorarbeit kulminiert. Diese war für die Weiterentwicklung richtungweisend.
  • Lang: Algebraic Number Theory. Daraus habe ich vor 20 Jahren gelernt.
  • Leutbecher: Zahlentheorie. Dies ist etwas elementarer gehalten.
  • Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Das ist mittlerweile eines der Standardwerke.
  • Schoof: Catalan's Conjecture; hier wird der Beweis der Catalan-Vermutung als Ziel beim Aufbau der algebraischen Zahlentheorie benutzt. Die Vermutung besagt, dass die einzigen aufeinanderfolgenden echten Potenzen ganzer Zahlen die Zahlen 8 und 9 sind.
  • Serre: Local Fields. Hier wird die Theorie der lokalen Körper in den Mittelpunkt gerückt.
  • Weil: Basic Number Theory.

Schließlich habe ich bekanntlich doch angefangen, an einem Skriptum zu basteln. Das ist jetzt erst einmal fertig, für eventuelle Fehlerhinweise bin ich natürlich dankbar.