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Institut für Algebra und Geometrie
Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie
Geometrische Gruppentheorie

Geometrische Gruppentheorie (Wintersemester 2009/10)

Zum Inhalt der Vorlesung

Die geometrische Gruppentheorie schafft eine interessante Querverbindung zwischen Gruppentheorie und Geometrie. Ihr Ziel ist es, Gruppen mittels geometrischer Methoden zu untersuchen. Dazu verfolgt man folgende zwei Ansätze:

  • Man betrachtet, wie die Gruppe auf einem geeigneten geometrischen Raum operiert.
  • Man betrachtet die Gruppe selbst als geometrischen Raum.

Ein erstes Beispiel ist der Cayley-Graph der Gruppe bezüglich eines Erzeugendensystems. Seine Ecken sind die Gruppenelemente und die Kanten werden durch die Erzeuger beschrieben. Dadurch wird die Gruppe zu einem metrischen Raum, auf dem sie selbst in natürlicher Weise operiert. Ein anderes typisches Beispiel sind diskrete Untergruppen der Matrizengruppe \mathrm{SL}_2\mathbb{R}, die auf der obere Halbebene als Isometrien bezüglich der Poincaré-Metrik operieren.

Ein prominentes Beispiel aus der jüngeren Mathematik, das wir in der Vorlesung genauer kennen lernen werden, ist der Culler-Vogtmann Outerspace \mathrm{CV}_n. Er ist ein Klassifikationsraum für endliche Graphen mit einer speziellen Zusatzstruktur. Auf ihm operiert die Automorphismengruppe der freien Gruppe F_n. Während freie Gruppen selbst sehr übersichtliche Gruppen sind, sind ihre Automorphismengruppen überraschend schwierig zu verstehen und lassen noch manche Frage offen. Mithilfe ihrer Aktion auf dem Culler-Vogtmann Outerspace konnten einige Eigenschaften von ihnen entdeckt und nachgewiesen werden.

Die Vorlesung richtet sich an alle, die sich für Algebra und Geometrie interessieren, besonders auch an Studierende der Informatik mit Interesse an Bezügen zwischen algebraischen und graphentheoretisch-algorithmischen Methoden und Studierende des Lehramts, die mitverfolgen wollen, wie man von einfachen Objekten wie Graphen zu tieferen Problemen in der Mathematik kommt. Es wird die Vorlesung "Algebra I" als Voraussetzung empfohlen. Einige Vorkenntnisse in Topologie sind nützlich.

Hier gibt es eine Stichwortliste zu den in der Vorlesung behandelten Themen.

Weitere Informationen

Die nach und nach erscheinenden Übungsblätter zur Vorlesung, sowie weitere Informationen zu dieser Vorlesung finden Sie im Studierendenportal des KIT unter

https://studium.kit.edu/sites/vab/60302/

Daneben werden die Übungsblätter aber auch auf dieser Seite veröffentlicht.

Übungsblätter

Termine
Vorlesung: Dienstag 8:00-9:30 AOC 201
Donnerstag 8:00-9:30 AOC 201
Übung: Freitag 14:00-15:30 Seminarraum S31 Geb. 20.30
Lehrende
Dozentin JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
Sprechstunde:
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email:
Übungsleiter Dr. André Kappes
Sprechstunde: Wann immer ich da bin.
Zimmer 1.036 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: andre.kappes@kit.edu

Links zu Seiten zur Geometrische Gruppentheorie

Eine Übersichtsseite

Offene Probleme

Literaturhinweise

Bücher

  • M. Bridson und A. Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 319. Springer (1999).
  • M. Coornaert, T. Delzant und A. Papadopoulos: Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov. Lecture Notes in Mathematics, 1441. Springer (1990).
  • D. Epstein, J. Cannon, D. Holt, S. Levy, M. Paterson und W. Thurston: Word processing in groups. Jones and Bartlett Publishers (1992).
  • R. Geoghegan: Topological methods in group theory. Graduate Texts in Mathematics 243. Springer (2008).
  • A. Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press (2002).
  • R. C. Lyndon and P. E. Schupp: Combinatorial group theory. Classics in Mathematics. Springer (2001).
  • E. Ghys, A. Haefliger, A. Verjovsky: Group theory from a geometrical viewpoint. World Scientific (1993).
  • S. Moran: The mathematical theory of knots and braids. An introduction. North-Holland Mathematics Studies, 82. Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland. XI (1983).
  • J.-P. Serre: Trees. Springer Monographs in Mathematics. Springer (2003).

Artikel

  • J.W. Cannon, W.J. Floyd und W.R. Parry: Introductory notes on Richard Thompson's groups. Enseign. Math., II. Sér. 42, No.3-4, S. 215-256 (1996).
  • A. D. Myasnikov, A. G. Myasnikov, V. Shpilrain: On the Andrews-Curtis equivalence. Preprint, arXiv:math/0302080.

Skripte und Vorlesungsmitschriften