Modular Forms (Wintersemester 2006/07)
- Dozent*in: PD Dr. Stefan Kühnlein
- Veranstaltungen: Vorlesung (1027)
- Semesterwochenstunden: 4
- Hörerkreis: Mathematik, Physik, Informatik (5.-55. Semester)
Diese Veranstaltung in englischer Sprache (anderssprachige Zwischenfragen sind erlaubt) führt in die Theorie der Modulformen ein. Grundlage ist die Funktionentheorie I bis hin zum Residuensatz mit seinen Anwendungen.
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 9:45-11:15 | Seminarraum 12 | Beginn: 24.10.2006, Ende: 16.2.2007 |
| Freitag 11:30-13:00 | Seminarraum 12 | ||
Aufbauend auf der Funktionentheorie I wollen wir uns die wichtigsten Grundlagen der Theorie der Modulformen aneignen. Dies sind holomorphe Funktionen auf der oberen Halbebene, die ein vom Dozenten vorgeschriebenes Transformationsverhalten unter Möbiustransformationen mittels SL(2,Z) besitzen und zusätzlich eine Holomorphiebedingung "bei Unendlich" erfüllen.
Die Theorie der Modulformen ist ein wichtiges Hilfsmittel in der analytischen Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie. Davon werden wir nicht wirklich viel sehen, auch wenn ich gelegentliche Exkurse nicht ausschließen will (oder auch nur kann).
Bisheriger Vorlesungsplan:
- elliptische Funktionen und Eisensteinreihen
- Gitterklassen und hyperbolische Geometrie
- Modulformen für SL(2,Z)
- Hecke-Operatoren
- Untergruppen von SL(2,Z)
- Verschiedenes
Hierbei dienen die ersten zwei Punkte im Wesentlichen der Motivation.
Die Vorlesung wird auf Englisch geradebrochen (??? - auf Deutsch wäre es wohl nicht viel besser...).
Hier kommt eine Liste der Ergebnisse aus der Funktionentheorie, die ich benutzen wollen werde. Ach so, was eine Gruppe ist, sollte auch allen Hörern bekannt sein ;-)
Eine weitere Ankündigung der Vorlesung findet sich unter announcement.pdf.
Am 21.11.2006 ist mir ein Bock bei der Definition der Modulformen über den Weg gelaufen, und ich habe ihn gerammt. Ich werd ihn am Freitag, den 24.11.2006, beseitigen.
Prüfung
Studienbegleitende Prüfungen werden natürlich angeboten. Genauere Modalitäten müssen sich noch herausstellen.
Literaturhinweise
- Apostol, Tom: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (Springer). Eine klassische Einführung mit Blick auf elementar-zahlentheoretische Anwendungen.
- Diamond, Fred; Shurman, Jerry: A First Course in Modular Forms (Springer). Ein ambitioniertes Werk, das die Leser in die Welt der Fermat-Vermutung einführt. Die Vorkenntnisse sind moderat, die Argumente eher algebraisch, ich will in der Vorlesung aber trotzdem nicht danach vorgehen. Ich denke, es ist vor allem als Anschlusslektüre an die Vorlesung geeignet.
- Freitag, Eberhard; Busam, Rolf: Funktionentheorie I (Springer). Hier finden wir nach einer vollständigen Einführung in die Funktionentheorie auch die grundlegenden Resultate über Modulformen präzise dargestellt.
- Knapp, Anthony: Elliptic Curves (PUP). Ein Lehrbuch, in dem der Zusammenhang mit elliptischen Kurven eine große Rolle spielt.
- Koecher, Max; Krieg, Aloys: Elliptische Funktionen und Modulformen (Springer). Hier sind die elliptischen Funktionen der Einstieg in die Modulformen. Mir gefällt das gut.
- Lang, Serge: Introduction to Modular Forms (Springer). Damit bin ich groß geworden, ich halte das Buch nach wie vor für sehr gut.
- Lehner, Joseph: Discontinuous Groups and Automorphic Functions (AMS). Dieses Werk ist geometrischer, und die Bandbreite an diskreten Gruppen ist größer als die in der Vorlesung ausführlich behandelten.
- Miyake, Toshitsune: Modular Forms (Springer). Eine schöne Einführung.
- Shimura, Goro: Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Forms (PUP). DER Klassiker, auch wenn es sich um ein anspruchsvoll geschriebenes Buch handelt, fast schon mehr eine Monographie als ein Lehrbuch.