Modulräume von Translationsflächen (Sommersemester 2021)
- Dozent*in: Prof. Dr. Frank Herrlich
- Veranstaltungen: Vorlesung (0165200), Übung (0165210)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik (Master)
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 10:00-11:30 | SR 3.068 | Beginn: 12.4.2021, Ende: 22.7.2021 |
| Donnerstag 12:00-13:30 | SR 3.068 | ||
| Übung: | Dienstag 16:00-17:30 | SR 2.066 | Beginn: 13.4.2021, Ende: 20.7.2021 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Frank Herrlich | |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail) | ||
| Zimmer 1.022 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: herrlich@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Fabian Ruoff |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: fabian.ruoff@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Jan Kohlmüller |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: jan.kohlmueller@kit.edu | ||
Inhalt
Eine Translationsstruktur auf einer Fläche wird durch Karten gegeben, deren Übergangsfunktionen Translationen sind. Kombinatorisch erhält man solche Strukturen durch Verkleben ebener Polygone entlang paralleler Seiten von gleicher Länge. Schon wenn man als Polygone nur Quadrate nimmt, erhält man eine reichhaltige Palette von Objekten mit vielen interessanten Eigenschaften. Mit solchen "Origamis" wird die Vorlesung beginnen.
Eine Translationsstruktur macht die Fläche auch zu einer Riemannschen Fläche und (im kompakten Fall) einer algebraischen Kurve, sie ist aber feiner. Die Klassifikation der ("endlichen") Translationsflächen beginnt daher mit dem Modulraum der kompakten Riemannschen Flächen bzw. der projektiven nichtsingulären Kurven. Die zusätzliche Struktur kann dann durch ein Vektorbündel über diesem Modulraum beschrieben werden.
Der so gefundene Modulraum der Translationsflächen hat eine Zerlegung in endlich viele Strata, entsprechend den Singularitäten der Translationsstruktur.
Auf dem Modulraum, und auch auf jedem einzelnen Stratum, gibt es eine sehr einfach zu beschreibende, aber dennoch sehr reichhaltige Aktion der Matrixgruppe SL(2,R). Die Charakterisierung der Bahnabschlüsse dieser Aktion durch Eskin, Mirzhakani und Mohammadi war eines der aufsehenerregendsten mathematischen Ergebnisse des letzten Jahrzehnts.
Voraussetzungen
Vertrautheit mit den grundlegenden Konzepten von Algebra, Topologie (insbesondere Flächen) und Funktionentheorie wird erwartet. Dagegen wird Algebraische Geometrie nicht vorausgesetzt (sie ist aber an einigen Stellen nützlich).
Die wichtigsten Eigenschaften von Riemannschen Flächen und algebraischen Kurven werden in der Vorlesung nicht ausführlich behandelt. Es hilft also, diese Begriffe vorher schon einmal gesehen zu haben.
Zur Konstruktion des Modulraums werden in der Vorlesung vorwiegend komplex-analytische Methoden benutzt. Der begrifflich anspruchsvollere algebraisch-geometrische Zugang zum Modulraum wird für Interessierte parallel zur Vorlesung in einem Seminar erarbeitet.
Prüfung
Die Prüfung findet als mündliche Prüfung von ca. 30 Minuten Dauer nach Ende der Vorlesungszeit statt.
Die Prüfungstermine werden individuell vereinbart.