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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

p-adic modular forms

p-adic modular forms

p-adic modular forms (Wintersemester 2013/14)

Dozent*in: Prof. Dr. Fabian Januszewski
Veranstaltungen: Vorlesung (0113100), Übung (0113200)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik (ab 5. Semester)

Termine
Vorlesung:	Mittwoch 9:45-11:15	1C-03
	Donnerstag 9:45-11:15	1C-03
Übung:	Donnerstag 11:30-13:00	Z2

Lehrende
Dozent	Prof. Dr. Fabian Januszewski
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de
Übungsleiter	Dr. Tobias Columbus
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: tobias dot columbus at posteo de

Übungsblätter

Blatt 1 In der ausgedruckten Version war ein kleiner Tippfehler in Aufgabe 3. Der ist jetzt korrigiert.
Blatt 2 Jetzt auf Englisch. Aufgabe 1 korrigiert.
Blatt 3 Mangels Interesse sind die Aufgaben wieder in deutscher Sprache verfasst.
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7 Fehlende Voraussetzung in Aufgabe 3 hinzugefügt.
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12

Inhalt

Modulformen und ihre $p$ -adischen Avatare spielen eine zentrale Rolle in der modernen Zahlentheorie. Obwohl Modulformen analytischen Ursprungs sind, enthalten sie wertvolle arithmetische Informationen, was sich beispielsweise in Andrew Wiles' Beweis von Fermats Letztem Satz manifestiert. Die Arithmetizität von Modulformen spiegelt sich ebenfalls in der Existenz $p$ -adischer Modulformen wider. Diese sind einem algebraischen Studium zugänglicher und sind daher aus der modernen Theorie nicht wegzudenken. Insbesondere weil sie sich $p$ -adisch analytisch deformieren lassen.

Es gibt einen engen Zusammenhang zwischen Galois-Darstellungen und Modulformen, welcher in der $p$ -adischen Welt noch umfassender wird.

Wir werden lernen, was eine $p$ -adische Modulform ist, und wie wir klassische Modulformen als $p$ -adische auffassen können. Wir werden sehen, daß in diesem Sinne Modulformen stets in Familien leben, d.h. sich $p$ -adisch deformieren lassen. Letzteres hat weitreichende Konsequenzen, denn es spiegelt Kongruenzen zwischen Modulformen modulo $p$ -Potenzen wider und zeigt, daß solche Kongruenzen in Hülle und Fülle auftreten.

Wir werden uns auf den ordinären Fall beschränken, d.h. auf Hida-Familien. Es gibt zwei Zugänge zu dieser Theorie: via Modulstacks elliptischer Kurven und geometrischen Modulformen und via Kohomologie arithmetischer Gruppen. Wir werden letzterem Ansatz folgen, da er weniger Vorkenntnisse benötigt und daher zugänglicher ist.

Literaturhinweise

Haruzo Hida, "Elementary Theory of L-functions and Eisenstein series", Chapters 5-7, sowie der Appendix.
Haruzo Hida, "Iwasawa modules attached to congruences of cusp forms", Annales scientifiques de l'E.N.S. 19, 1986, 231-273.
Haruzo Hida, "Galois representations into ${\rm GL}_2({\mathbb Z}_p[[X]])$ attached to ordinary forms", inventiones mathematicae 85, 1986, 545-613.
Haruzo Hida, "On nearly ordinary Hecke algebras for GL(2) over totally real fields", Advanced Studies in Pure Mathematics 17, 1989, 139-169.
Haruzo Hida, "On p-adic Hecke algebras for ${\rm GL}_2$ over totally real fields", Annals of Mathematics 128, 295-384.

Die letzten drei Artikel sind der Vorlesung am nächsten. Das Buch enthält viele Grundlagen und folgt Wiles' Ansatz zu den Kontrolltheoremen, welcher von Hida's abweicht. Es enthält viele Beispiele und ist näher an der klassischen Theorie der Modulformen. Der Artikel "Iwasawa modules attached to congruences of cusp forms" enthält behandelt im letzten Abschnitt zwei Beispiele: Größencharaktere sowie Eisensteinreihen (vgl. hierzu auch Übungsblatt 11).