Webrelaunch 2020

Riemannsche Flächen (Wintersemester 2023/24)

Riemannsche Flächen haben eine sehr reichhaltige Struktur und eignen sich daher hervorragend als
Einstieg in eine Reihe von klassischen und modernen Teilgebieten der Mathematik:
• Als eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten erlauben Riemannsche Flächen es, Konzepte der allgemeinen Theorie explizit zu verstehen, etwa holomorphe Differentiale, Kählerstruktur, Hodge-Zerlegung, ...
• Kompakte Riemannsche Flächen sind algebraische Kurven, erlauben es also, abtrakte Konzepte der algebraischen Geometrie mit funktionentheoretischen Methoden zu beschreiben.
• Die meisten Riemannschen Flächen tragen eine hyperbolische Metrik und führen zu nichttrivialen Anwendungen der hyperbolischen Geometrie.
• Die Beschreibung von Riemannschen Flächen als Quotienten nach Fuchsschen Gruppen eröffnet einen Weg in die geometrische Gruppentheorie.
• Über Modulformen und Modulkurven gelangt man zu zahlentheoretischen Fragestellungen.
• Die Klassifikation von kompakten Riemannschen Flächen führt zu Teichmüllerräumen, Abbildungsklassengruppen und Modulräumen.
• Translationsflächen sind insbesondere Riemannsche Flächen; die aktuellen Themen der Teichmüllergeometrie und -dynamik bauen daher auf Riemannschen Flächen auf.
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Termine
Vorlesung: Montag 9:45-11:15 20.30 SR 3.68 Beginn: 23.10.2023
Freitag 9:45-11:15 20.30 SR 2.59
Übung: Dienstag 9:45-11:15 20.30 SR 3.69 Beginn: 24.10.2023
Lehrende
Dozent, Übungsleiter Prof. Dr. Frank Herrlich
Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail)
Zimmer 1.022 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: herrlich@kit.edu

Riemannsche Flächen sind eindimensionale konplexe Mannigfaltigkeiten, sehen also lokal aus wie offene Teilmengen der komplexen Ebene. Für die Vorlesung interessant ist daher vor allem ihre globale Funktionentheorie. Der Schwerpunkt wird dabei auf kompakten Riemannschen Flächen liegen. Für sie ist der Satz von Riemann-Roch das wichtigste Resultat, das insbesondere Auskunft über Existenz und Anzahl von holomorphen bzw. meromorphen Funktionen mit bestimmten Eigenschaften gibt. Der Beweis dieses Satzes wird ein wichtiges Ziel der Vorlesung sein.
Ein anderer grundlegender Satz, der Uniformisierungssatz, erlaubt es, Riemannsche Flächen als Quotienten der oberen Halbebene nach einer Fuchsschen Gruppe darzustellen. Oder in geometrischer Sprache: als Quotienten der hyperbolischen Ebene nach einer diskreten Gruppe von Isometrien. Dieser Satz ist die Basis für die Klassifikation der kompakten Riemannschen Flächen, die auch ein Thema der Vorlesung sein wird.