KIT - Fakultät für Mathematik - Seminar p-adische Analysis und der Satz von Dwork (Sommersemester 2019)

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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Seminar p-adische Analysis

Seminar p-adische Analysis

Seminar p-adische Analysis und der Satz von Dwork (Sommersemester 2019)

Dozent*in: Prof. Dr. Fabian Januszewski
Veranstaltungen: Seminar (0123400)
Semesterwochenstunden: 4
Hörerkreis: Mathematik BA/MA/Lehramt, Informatik BA/MA (5.-10. Semester)

Wir werden uns mit dem Zählen von Lösungen von Polynomgleichungen über endlichen Körpern beschäftigen. Hierzu werden wir p-adische Methoden entwickeln und auf unsere Zählprobleme anwenden.

Kursiver Text

Termine
Seminar:	Mittwoch 9:45-11:15	20.30 SR -1.017 (UG)	Beginn: 24.4.2019

Lehrende
Seminarleitung	Prof. Dr. Fabian Januszewski
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de
Seminarleitung	Dr. Fabian Ruoff
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: fabian.ruoff@kit.edu

Aushang: findet sich hier.

Voraussetzungen: Wir setzen lediglich die Einführung in Algebra und Zahlentheorie voraus.

Vorbesprechung: findet am Mittwoch, den 6. Februar 2019 um 13:15 im SR 2.66 statt.

Literatur: Hauptquelle ist Neil Koblitz' Buch " $p$ -adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions" (Ko). Wir werden uns mit den Kapiteln I, III, IV und V beschäftigen. Weitere Quelle für die ersten Kapitel ist Neukirchs "Algebraische Zahlentheorie" (Neu).

Programm

1. Normen auf den rationalen Zahlen (Ko, S. 1-7)
Abschnitte I.1 und I.2 in (Ko): Bestimmung aller Normen auf $\mathbb Q$ . Dies führt zum archimedischen Absolutbetrag und zu den $p$ -adischen Absolutbeträgen. Alternativquelle: (Neu) Abschnitt II.3 und Beginn von Abschnitt II.4.

2. $p$ -adische Zahlen (Ko, S. 10-14)
Abschnitt I.4 in (Ko): Definition von ${\mathbb Q}_p$ und ${\mathbb Z}_p$ als Komplettierungen. Alternativquelle: (Neu) Abschnitte II.1 und II.2.

3. Körpererweiterungen und endliche Körper (Ko, S. 52-57)
Abschnitt III.1 in (Ko): Grundlagen ueber allgemeine Körpererweiterungen, Struktur endlicher Körper.

4. Fortsetzung von Bewertungen auf endliche Erweiterungen (Ko, S. 57-65)
Abschnitt III.2 in (Ko), siehe auch Theoreme 4.8 und 4.9 in Abschnitt II.4 in (Neu).

5. Das Henselsche Lemma (Ko, S. 14-20)
Abschnitt I.5 in (Ko): Heben von Nullstellen modulo $p$ . Koblitz betrachtet lediglich den Fall ${\mathbb Q}_p$ , In Neukirchs (Neu) (Lemma 4.6) findet sich die allgemeine Aussage mit dem allgemeinen Beweis, wobei auch Koblitz' Beweis einfach zu verallgemeinern ist.

6. Motivation und Konstruktion von $\Omega_p$ (Ko, S. 65-74)
Abschnitt III.3 in (Ko): verzweigte und unverzweigte Erweiterungen, Krasnersches Lemma und Konstruktion eines algebraisch abgeschlossenen und vollständigen Körpers über $\mathbb Q_p$ .

7. Elementare Potenzreihen über $\Omega_p$ (Ko, S. 75-80)
Abschnitt IV.1 in (Ko), allerdings ohne Seiten 81-82: Einführung in $p$ -adische Potzenreihen, Definition des $p$ -adischen Logarithmus und der $p$ -adischen Exponentialfunktion. Siehe auch Satz 5.5 in Abschnitt II.5 (Neu).

8. Artin-Hasse-Exponential-Funktion (Ko, S. 81-89)
Abschnitt IV.2 in (Ko), allerdings mit dem Ende von Abschnitt IV.1.

9. Newtonpolygone (Ko, S. 89-93)
Abschnitt IV.3 und den Beginn von Abschnitt IV.4 in (Ko) (Ende mit dem Beweis von Lemma 5). Siehe auch Satz 6.3 in Abschnitt II.6 in (Neu).

10. Weierstraß'scher Vorbereitungssatz ( $p$ -adisch) (Ko, S. 94-100)
Rest des Abschnittes IV.4 in (Ko).

11. Einführung in die Problemstellung (Ko, S. 101-107)
Abschnitt V.1 in (Ko): Definition der Zeta-Funktion und der Satz von Dwork.

12. Hebungen von Charakteren (Ko, S. 106-110)
Ausgewälte Aufgaben aus Abschnitt V.1 und Abschnitt V.2 in (Ko): Relationen fuer Zeta-Funktionen allgemeiner affiner Varietäten (Ex. 4), sowie Exercise 6.

13. Eine lineare Abbildung (Ko, S. 110-114)
Abschnitt V.3 in (Ko).

14. $p$ -adische Fassung der Zetafunktion & das Ende des Beweises (Ko, S. 115-120)
Abschnitte V.4 und V.5 in (Ko).