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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Seminar (Quadratische Formen)

Seminar (Quadratische Formen)

Seminar (Quadratische Formen) (Sommersemester 2018)

Dozent*in: Prof. Dr. Fabian Januszewski
Veranstaltungen: Seminar (0172700)
Semesterwochenstunden: 2
Hörerkreis: Mathematik BA/MA/Lehramt (ab 4. Semester)

Termine
Seminar:	Montag 14:00-15:30	Mathematik

Lehrende
Seminarleitung	Prof. Dr. Fabian Januszewski
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de
Seminarleitung	Martin Barič
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: martin.baric@kit.edu

Unterlagen: Die Unterlagen können jederzeit im Büro 1.036 abgeholt werden. Sollte niemand da sein, kann Frau Hoffmann (Zimmer 1.027) beim netten Nachfragen sicherlich die Tür aufschließen.

Beschreibung: In diesem Seminar werden wir uns mit quadratischen Formen beschäftigen. Diese gehören zu den ältesten Objekten der Zahlentheorie, die viele schöne Resultate hervorgebracht haben. Obwohl die Theorie der quadratischen Formen im Vergleich zur Theorie allgemeinerer algebraischer Gleichungen sehr hoch entwickelt ist, sind auch heute noch nicht alle von ihnen aufgeworfenen Fragen beantwortet.

Eine quadratische Form ist ein algebraisches Polynom $Q(X_1,\cdots,X_n)$ zweiten Grades. Beispielsweise ist
$Q(X,Y,Z) = X^2 + 2Y^2 - 3Z^2$
eine quadratische Form über $\mathbb Q$ . Eine grundlegende Frage ist, wann die Gleichung
$Q(X_1,\cdots,X_n) = 0$
nichttrivial lösbar ist.

In diesem Seminar studieren wir diese Fragestellung über $\mathbb Q$ . Wir werden sehen, dass es zweckmäßig ist, nicht nur $\mathbb Q$ , sondern auch den Körper $\mathbb R$ der reellen Zahlen und die Körper $\mathbb Q_p$ der $p$ -adischen Zahlen in Betracht zu ziehen, denn jede Lösung in $\mathbb Q$ ist auch eine Lösung in $\mathbb R$ bzw. in jedem $\mathbb Q_p$ . Letztere Körper werden wir im Seminar konstruieren und besser kennenlernen.

Der berühmte Satz von Hasse-Minkowski besagt, dass die Umkehrung dieser Aussage erstaunlicherweise ebenfalls gilt: Finden wir in $\mathbb R$ und in jedem $\mathbb Q_p$ eine Lösung, dann existiert auch eine Lösung in $\mathbb Q$ !

Da die Lösbarkeit in $\mathbb R$ und in jedem $\mathbb Q_p$ relativ einfach überprüft werden kann, sind wir in der Lage, zu einer gegebenen quadratschen Form $Q(X_1,\dots,X_n)$ zu entscheiden, wann sie eine nichttriviale rationale Lösung besitzt und wann nicht. Beispielsweise ist es offensichtlich dass
$X^2 + 2Y^2 - 3Z^2 = 0$
eine nichttriviale reelle Lösung besitzt. Ob sie ebenfalls in allen $\mathbb Q_p$ lösbar ist, werden wir im Seminar entscheiden lernen. Hierbei wird sich eine angepasste Form des bereits aus der Einführung in Algebra und Zahlentheorie bekannten quadratischen Reziprozitätsgesetztes als nützlich erweisen.

Voraussetzungen: Wir setzen lediglich die Einführung in Algebra und Zahlentheorie voraus.

Aushang: findet sich hier.

Vorträge: die Vortragsthemen finden sich hier.

Vorbesprechung:: Am Mittwoch den 14. Februar um 14:00 im SR 2.59 (Geb. 20.30).

Termin:: Das Seminar findet montags 14:00 im SR 2.59 (Geb. 20.30) statt.

Literaturhinweise

J.W.S. Cassels, Rational Quadratic Forms
J.W.S. Cassels und A. Fröhlich, Algebraic Number Theory
M. Hindry und J.H. Silverman, Diophantine Geometry
M. Kneser, Quadratische Formen
V. Platonov und A. Rapinchuk, Algebraic Groups and Number Theory
J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne (Galois Cohomology)
J.-P. Serre, Cours d'arithmetique (A course in arithmetic)