Seminar: Die stabile Homologie der Abbildungsklassengruppe (Sommersemester 2013)
- Dozent*in: JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
- Veranstaltungen: Seminar (0171900)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik, Informatik (ab 4. Semester)
Wir möchten eine Aussage über die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe, den Stabilitätssatz von Harer beweisen.
Das Seminar findet Dienstags um 14 Uhr statt, ab dem 2. Juli im 1C-02 (Allianzgebäude).
| Termine | ||
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| Seminar: | Dienstag 14:00-15:30 | |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen | |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: | Seminarleitung | Dr. Tobias Columbus |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: tobias dot columbus at posteo de | ||
Der Modulraum klassifiziert kompakte Riemannsche Flächen von Geschlecht
und ist ein interessantes Objekt in der algebraischen Geometrie. Gleichzeitig lässt er sich als Mannigfaltigkeit mit "milden" Singularitäten, die man als Quotient
des Teichmüllerraums nach der Operation der Abbildungsklassengruppe
erhält, beschreiben. Diesen Zusammenhang wollen wir nutzen, um die Topologie des Modulraums zu verstehen.
Topologisch ist einfach ein offener Ball und somit leicht zu verstehen. Wichtige topologische Invarianten des Modulraums, wie zum Beispiel seine Kohomologie, lassen sich daher aus entsprechenden Invarianten der Gruppe
ablesen.
Konkret werden wir die Kohomologiegruppen und
einführen und deren Abhängigkeit von
und
untersuchen. Zu diesem Zweck werden wir simpliziale Komplexe, klassifizierende Räume und algebraische Methoden wie zum Beispiel Spektralsequenzen kennenlernen und verwenden.
Unser Ziel ist ein Beweis des Stabilitätssatzes von Harer - einer tiefgehenden Aussage über die Topologie von .
Voraussetzungen: Grundlagen zur Topologie und Algebra (z.B. aus den Vorlesungen
Einführung in Geometrie und Topologie und Einführung in Algebra und Zahlentheorie
Vorbesprechung: Freitag, 8.2.2013, 13:15 Uhr in Raum 1C-02
Sie können diese Ankündigung auch als PDF-Dokument herunterladen. Hier gibt es die Themenliste.
Challenges
Challenge 1
Die kleinst mögliche Zahl ist 14. ... Gar nicht so einfach, wie man denken würde, eine Lösung zu finden. Der Császár Polyeder ist eine Lösung. Allgemeiner kann man für Flächen von Geschlecht g die kleinstmögliche Anzahl über eine konkrete Formel angeben. Für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten ist die entsprechende Frage allerdings sehr schwierig und weitgehend nicht allgemein gelöst. Mehr dazu und einige noch ungelöste Fragen zu dem Thema findet man z.B. in dem Übersichtsartikel von Frank Lutz.
Challenge 12
Literaturhinweise
Hauptquelle für das Seminar sind:
- der Übersichtsartikel von Nathalie Wahl: The Mumford conjecture, Madsen-Weiss and homological stability for mapping class groups of surfaces, PCMI lectures, UTAH 2011
- eine etwas ausführlichere Ausführung in dem Handbook-Artikel von Nathalie Wahl: Homological stability for mapping class groups of surfaces, in: Handbook of Moduli, Vol. III, 547-583. Advanced Lectures in Mathematics 26 (2012)