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Institut für Algebra und Geometrie
Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie
Seminar top. Gruppen

Seminar topologische Gruppen (Wintersemester 2018/19)

Wir werden uns mit topologischen Gruppen befassen. Relevante Stichworte sind lokalkompakte Gruppen, Haarsches Maß und Pontryagin-Dualität.

Termine
Seminar: Montag 11:30-13:00 20.30 SR 2.58 Beginn: 14.10.2018
Lehrende
Seminarleitung Prof. Dr. Fabian Januszewski
Sprechstunde:
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de
Seminarleitung Martin Barič
Sprechstunde:
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: martin.baric@kit.edu

Topologische Gruppen lernen wir bereits in den ersten Semestern des Studiums kennen: die Gruppen {\mathbb R}, {\mathbb C},{\mathbb R}^\times,{\mathbb C}^\times,{\mathrm{GL}}_n({\mathbb R}),{\mathrm O}(n),{\mathrm U}(n),... sind wichtige Beispiele topologischer Gruppen. Andere Beispiele sind elliptische Kurven über \mathbb R oder \mathbb C, Tori (d.h. kompakte Gruppen der form {\mathbb R}^n/{\mathbb Z}^n), sowie Galoisgruppen ggf.\ unendlicher Galoiserweiterungen.

Allgemein ist eine topologische Gruppe eine Gruppe G, welche zugleich ein topologischer Raum ist, soda\ss{} die Gruppenverknüpfung (g,h)\mapsto gh, sowie die Inversenabbildung g\mapsto g^{-1} jeweils stetig sind.

Das Zusammenspiel von Algebra und Topologie ist sehr fruchtbar und topologische Gruppen sind sehr symmetrische topologische Räume: F\"ur jedes h\in G ist die Translationsabbildung G\to G, g\mapsto gh stetig. Aus dem selben Grund ist die inverse Abbildung g\mapsto gh^{-1} ebenfalls stetig, mithin ist g\mapsto gh ein Homöomorphismus G\to G. Das zeigt insbesondere, daß G lokal bei jedem h\in G "gleich aussieht."

Im Seminar werden wir uns zunächst Grundlagen aus der mengentheoretischen Topologie aneignen, die für uns relevant sind: Was ist eine Topologie, was sind Umgebungen, Kompaktheit, Vollständigkeit und lokalkompakte Räume.

Eines unserer Ziele wird sein, lokalkompakte Gruppen besser zu verstehen. Hier werden wir zwei wichtige Sätze kennenlernen: Der Satz vom Haarschen Maß besagt, daß auf jeder lokalkompakten Gruppe G ein eindeutig bestimmtes rechts- (oder wahlweise links-)invariantes Maß \mu existiert. Dies hat fundamentale Konsequenzen, insbesondere läßt sich ein L^2-Raum auf G definieren und wir können Analysis betreiben.

Letztendlich führt dies zu Verallgemeinerungen der Fourieranalysis, wobei die klassische Fouriertheorie den beiden Gruppen {\mathbb Z},\,{\mathbb R}/{\mathbb Z} entspricht. Für allgemeine abelsche lokalkompakte Gruppen wird die Fouriertheorie durch Pontryagin-Dualit\"at beschrieben. Letztere besagt, daß das Pontryagin-Dual \widehat{G}:=\Hom(G,{\mathbb R}/{\mathbb Z}) einer abelschen lokalkompakten Gruppe wieder abelsch lokalkompakt ist und weiterhin kanonisch G\cong\widehat{\widehat{G}} gilt.

Einige topologische Eigenschaften von G lassen sich dann an \widehat{G} ablesen: Beispielsweise ist G genau dann diskret, wenn \widehat{G} kompakt ist (und umgekehrt). Es gilt beispielsweise \widehat{\mathbb Z}={\mathbb R}/{\mathbb Z}, was erklärt, warum in der klassischen Fouriertheorie die Funktionen x\mapsto e^{2\pi in x},\,n\in\mathbb Z, eine Zentrale Rolle spielen: Dies sind gerade die Elemente von \widehat{{\mathbb R}/{\mathbb Z}}\cong{\mathbb Z} und periodische Funktionen auf \mathbb R sind nichts anderes als Funktionen auf {\mathbb R}/\mathbb Z.


Voraussetzungen: Wir setzen lediglich die Einführung in Algebra und Zahlentheorie voraus, wobei die Einführung in Geometrie und Topologie hilfreich ist.

Aushang: findet sich hier.

Vorbesprechung: findet am Montag den 16. Juli um 14:00 im SR 3.69 statt.

Seminarprogramm: die Vortragsthemen finden sich hier.