Fakultät für Mathematik
Webrelaunch 2020
Fakultät für Mathematik
Startseite
Institute
Institut für Algebra und Geometrie
Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie
Garbenkohomologie

Garbenkohomologie in Analysis und Topologie (Wintersemester 2014/15)

Wir werden uns mit Garbenkohomologie beschäftigen und damit klassische Resultate in Analysis und Topologie reinterpertieren.

Termine
Vorlesung: Dienstag 14:00-15:30 K2

Aus aktuellem Anlass: Das Ferienübungsblatt

Prüfungen: Gerne nach Rücksprache in der vorlesungsfreien Zeit; Die Fristen stehen im QISPOS.

Eine Garbe formalisiert die Idee, daß eine Funktion auf einem Raum durch ihr lokales Verhalten, d.h. durch ihre Einschränkungen auf beliebig kleine Umgebungen, eindeutig bestimmt ist. In der Praxis ist es oft leicht, die lokale Existenz einer Lösung (der gesuchten Funktion), lokal nachzuweisen. Es stellt sich dann die Frage, wann sich diese lokalen Lösungen zu einer globalen Lösung zusammenkleben lassen. Genau dies formalisiert der Begriff einer Garbe.

Die Garbenkohomologie liefert eine starke Maschine, die es konkret erlaubt, diese Fragestellungen zu beantworten. Insbesondere stellt sie einen Zusammenhang zwischen dem Usprungsproblem und der Topologie des Raumes her.

Ein fundamentales und lehrreiches Beispiel ist die komplexe Exponentialfunktion: {\rm exp}:{\mathbb C}\to{\mathbb C}^\times. Sie hat den Kern 2\pi i{\mathbb Z} und gibt Anlass zu einem Pfeil {\rm exp}:\underline{\mathbb C}\to\underline{\mathbb C}^\times von Garben auf {\mathbb C}, mit Kern \underline{\mathbb Z}.

Die Garbenkohomologie beschert uns daher eine lange exakte Sequenz
0\to H^0({\mathbb C};\underline{\mathbb Z})\to H^0({\mathbb C};\underline{\mathbb C})\to H^0({\mathbb C};\underline{\mathbb C}^\times)\to H^1({\mathbb C};\underline{\mathbb Z})\to \cdots
Nun verschwindet H^1({\mathbb C};\underline{\mathbb Z}) denn es ist kanonisch isomorph zur ersten Kohomologie des kontrahierbaren Raumes \mathbb C. Mit anderen Worten: Die Exponentialabbildung {\rm exp}:{\mathbb C}\to{\mathbb C}^\times ist surjektiv!

Anders herum betrachtet: die Surjektivität der Exponentialfunktion spiegelt die topologische Struktur der komplexen Ebene wider. Interessant wird es, wenn wir die gleiche exake Sequenz auf komplizierteren Räumen betrachten. Dies führt beispielsweise zu fundamentalen Anwendungen in der Theorie der Riemannschen Flächen.

Dies und andere Phänomene werden wir in der Vorlesung en detail studieren, wobei wir die Theorie Riemannsche Flächen aus Zeitgründen leider nur kurz streifen werden. Wir werden ebenfalls lernen, was eine Garbe ist, und was es mit der Kohomologie auf sich hat. Die Anwendungen werden uns helfen, diese abstrakte Theorie greifbar zu machen. Viele klassische Resultate erscheinen in der eleganten Garbenlehre in einem neuen Licht.