Homotopietheorie simplizialer Mengen (Sommersemester 2013)
- Dozent*in: Prof. Dr. Fabian Januszewski
- Veranstaltungen: Vorlesung (0153700)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik
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| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | 1C-01 |
| Mittwoch 14:00-15:30 | K2 | |
| Lehrende | ||
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| Dozent | Prof. Dr. Fabian Januszewski | |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de | ||
Das Objekt der Begierde werden simpliziale Mengen (im funktoriellen Sinne) sein. Dabei handelt es sich um Abstraktionen klassischer Simplizes bzw. simplizialer Komplexe, wie man sie aus der klassischen algebraischen Topologie kennt. Die klassische algebraische Topologie setzen wir jedoch nicht voraus.
Der im Grunde rein kombinatorische Formalismus der simplizialen Mengen erlaubt es auf elegante Art und Weise, topologische Argumente in andere Kontexte zu übertragen. Beispielsweise lassen sich mutatis mutandis simpliziale (abelsche) Gruppen, simpliziale Lie-Algebren, simpliziale Garben, simpliziale Schemata, etc. definieren.
In dieser Vorlesung werden wir einerseits sehen, was simpliziale Mengen mit klassischen simplizialen Komplexen zu tun haben und andererseits, dass die simplizialen abelschen Gruppen homotopietheoretisch betrachtet nichts anderes sind als Kettenkomplexe abelscher Gruppen. Insbesondere werden wir uns damit beschäftigen, was "homotopietheoretisch nichts anderes zu sein" genau bedeutet. Dies wird uns zu Quillens Begriff der Modellkategorie führen.
Am Ende wollen wir dies natürlich anwenden und werden sehen, was das beispielsweise mit Gruppenkohomologie zu tun hat.
Voraussetzungen: Grundlagen aus den Vorlesungen Einführung in Geometrie und Topologie sowie Einführung in Algebra und Zahlentheorie.
Organisatorisches: Die Vorlesung findet montags statt, mittwochs steht von 14:00-15:30 der K2 zur Verfügung, um noch einmal den behandelten Stoff der Vorlesung durchzugehen und über die Vorlesung verstreute Übungsaufgaben zu bearbeiten. Von Zeit zu Zeit werde ich auch mittwochs dabei sein, und für Fragen und Anregungen stehe ich natürlich zur Verfügung.
Material zur Vorlesung
- Übungsblatt 1
- Übungsblatt 2 (mit einer korrigierten Aufgabe 2)
- Übungsblatt 3
- Übungsblatt 4
Literaturhinweise
- J.P. May, Simplicial Objects in Algebraic Topology, University of Chicago Press (siehe auch Mays Homepage)
- P.S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations, American Mathematical Society
- P.G. Goerss und J.F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Birkhäuser
- D.G. Quillen, Homotopical Algebra, Lecture Notes in Mathematics 43, Springer