Algebraische Geometrie
Algebraische Geometrie
Nachdem Descartes die Koordinaten erfunden hatte, stellte sich rasch heraus, dass die wichtigsten geometrischen Objekte (Geraden, Kugeln, Lemniskaten...) durch Polynomgleichungen beschrieben werden; zum Beispiel ist eine Sphäre die Lösungsmenge der Polynomgleichung
Mit den Unbestimmten sind hier die Koordinaten im Raum gemeint; der Parameter
ist der Radius der Kugel.
Die algebraische Geometrie untersucht die Geometrie der Lösungsmengen von Polynomgleichungssystemen.
Natürlich ist diese Aufgabenstellung inzwischen in verschiedene Richtungen erweitert worden. Zum Beispiel kann man jedem kommutativen Ring (im Sinn der Algebra ein geometrisches Objekt (Schema) zuordnen, dessen Untersuchung dann Gegenstand der modernen algebraischen Geometrie ist. Andererseits wird die Geometrie der komplexen Zahlen (komplexe Räume) in wesentlichen Teilen analog zur algebraischen Geometrie aufgebaut.
An der Universität Karlsruhe sind folgende Hauptzweige vertreten:
Klassifikation von Varietäten
Im einfachsten Fall nehme man ein Polynomgleichungssystem, dessen Lösungsmenge nur eindimensional, d.h. eine algebraische Kurve ist. Wenn sich nun Parameter in den Gleichungen stetig verändern, dann möchte man verstehen, wie die Lösungskurve verformt wird. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Gestalt einer algebraischen Kurve von endlich vielen Parametern abhängt (sie wird moduliert), die in einem höherdimensionalen Raum (Modulraum) variieren. Die entsprechende Arbeitsgruppe in Karlsruhe (Prof. Herrlich mit derzeit drei Doktoranden) beschäftigt sich vorwiegend mit der Geometrie von Modulräumen.
Arithmetische Geometrie
sucht nach Lösungen eines Polynomgleichungssystems durch ganze Zahlen oder allgemeiner durch Zahlen aus einem vorgegebenen kommutativen Ring. Diese Richtung der algebraischen Geometrie ist nach der Einführung der Schemata (s.o.) in den sechziger Jahren in ein neues Stadium getreten und hat seitdem die Zahlentheorie revolutioniert.
Angewandte algebraische Geometrie
ist in Karlsruhe an der Fakultät für Informatik angesiedelt. Hier stehen algorithmische Aspekte stärker im Vordergrund. Zu den Anwendungsbereichen zählen Kodierung, Kryptografie, Robotik, Algorithmik u.a.