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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Origamis

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Origamis in Karlsruhe

Bei den Origamis, die in unserer Arbeitsgruppe untersucht werden, handelt es sich um mathematische Objekte, die in den letzten Jahren wachsende Aufmerksamkeit auf sich gezogen haben. Grundidee dabei ist, dass durch wenige kombinatorische Daten topologische Flächen mit Zusatzstruktur durch einfache Regeln bestimmt werden, die vielfältig interessante Objekte in verschiedenen Gebieten wie algebraischer Geometrie, dynamischen Systemen und geometrischer Gruppentheorie induzieren.

Seit Sommer 2007 gibt es in unserer Arbeitsgruppe ein Forschungsprojekt mit dem Thema Mit Origamis zu Teichmüllerkurven im Modulraum,
das von der Landesstiftung Baden-Württemberg gefördert wird.

Eine erste Einführung zu Origamis

Gegeben sind endlich viele Kopien des euklidischen Einheitsquadrates. Diese werden entlang ihrer Kanten durch Translationen nach folgenden Regeln verklebt:

Jede rechte Kante wird mit einer linken Kante verklebt.
Jede obere Kante wird mit einer unteren Kante verklebt.
Die Fläche, die so entsteht, ist zusammenhängend und geschlossen.

Ein Origami O ist eine Menge von Verklebevorschriften, die diese drei Regeln erfüllt. Die Fläche X, die so entsteht, hat eine natürliche Zerlegung in Quadrate. Dehalb wird sie auch als square tiled surface (mit Quadraten gepflasterte Fläche) bezeichnet.

Es gibt verschiedene äquivalente Möglichkeiten, Origamis zu beschreiben: z.B. als Überlagerungen des Torus, die höchsten über einem Punkt verzweigen, als Paare von Permutationen in $S_n$ , die gewisse Bedingungen erfüllen, als Konjugationsklassen von Untergruppen in der freien Gruppe $F_2$ mit endlichem Index, ... (siehe z.B. [S2])

Obwohl die Konstruktion eines Origamis so einfach wie oben beschrieben ist, definiert es spannende mathematische Objekte. Zum Beispiel:

Eine Teichmüllerkreisscheibe $\Delta_O$ in den Teichmüllerraumen $T_{g,n}$ und $T_g$ .
Eine Teichmüllerkurve $C_O$ in den Modulräumen $M_{g,n}$ und $M_g$ .
Die Veechgruppe $\Gamma(O)$ , die gleichzeitig eine Untergruppe von SL(2,R) und (fast) eine Untergruppe der Abbildungsklassengruppe $\Gamma_{g,n}$ bzw. $\Gamma_g$ ist.

Hierbei ist g das Geschlecht der Fläche X und n die Anzahl der Ecken der Quadrate in der Pflasterung.

Eine ausführlicherere Einführung zu Origamis finden Sie hier.
Hier findet sich weiterhin eine Liste von Publikationen zu Origamis und square tiled surfaces.

Mitarbeiter in Karlsruhe, die über Origamis arbeiten

Seit Sommer 2007 gibt es außerdem das Forschungsprojekt Mit Origamis zu Teichmüllerkurven im Modulraum, das im Rahmen des Eliteprogramms für Postdoktorandinnen und Postdoktoranden der Landesstiftung Baden-Württemberg gefördert wird.

Software zu Origamis

Origami-Library

Unsere Origami-Library ist ein Software-Paket in C++, das aus Programmen besteht, die

die Veechgruppe eines Origamis und verschiedene Eigenschaften der zugehörigen Teichmüllerkurve bestimmen (nach dem Algorithmus in [S1])
Bilder von Origamis in $\LaTeX$ erzeugen.

Diese Software wurde von Karsten Kremer und Gabriela Schmithüsen programmiert. Bitte wenden Sie sich an uns (Email an origami@mathematik.uni-karlsruhe.de), falls Sie Fragen haben. Die Software steht unter GNU General Public License. Falls Sie Ergebnisse veröffentlichen, für die Sie unsere Software verwendet haben, vergessen Sie bitte nicht, dies in angemesser Weise in der Veröffentlichung zu erwähnen. Wenn Sie weitere Algorithmen auf diesem Paket aufbauend programmieren, bitten wir darum, uns das wissen zu lassen.

Download des Pakets:

tar-Format: origami-library.tar.gz
(entpacken unter Unix: gunzip origami-library.tar.gz und tar xvf origami-library.tar)
zip-Format: origami-library.zip
(entpacken unter Unix: unzip origami-library.zip)

Address: Institute for Algebra and Geometry, Fakultaet fuer Mathematik, Universitaet Karlsruhe, D-76128 Karlsruhe, Germany.

E-mail: karsten.kremer@math.uni-karlsruhe.de , schmithuesen@mathematik.uni-karlsruhe.de or origami@math.uni-karlsruhe.de

Origami-Visualize

$Screenshot$

In Ergänzung zur obigen Origami-Bibliothek wurde eine graphische Anwendung entwickelt, mit der man ein Origami interaktiv in der Ebene „auslegen“ kann, bevor man sie mit obiger $\LaTeX$ -Unterstützung in eine Veröffentlichung einbindet. Es ist mit Python und PyGTK implementiert.

Download des Pakets: origami-visualize-435.tar.gz
Beispiel eines Origamis im passenden Eingabeformat: d4.ori
Beispiel einer Latex-Datei, die das .vis-Format einbindet: draw_origami.tex

Addresse: Institut für Algebra und Geometrie, Karlsruher Institut für Technologie, 76128 Karlsruhe.

E-mail: breitner@kit.edu oder origami@math.uni-karlsruhe.de

Lizenz

Beide Softwarepakete werden unter den Bedingungen der GNU Public License, Version 3, veröffentlicht:

This program is free software; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 3 of the License, or (at your option) any later version.

This program is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License for more details.

You should have received a copy of the GNU General Public License along with this program; if not, see http://www.gnu.org/licenses/ or write to the Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301, USA.

If you publish results you obtained by using it, please don't forget to give appropriate credit in your publication. If you program more algorithms using this package, we kindly ask you to let us know.