$Webrelaunch 2020$

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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen

JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen

BW-Projekt

Einführung

Einführung

Eine Einführung zu Origamis

Hier haben wir eine kleine Einführungen zu den mathematischen Origamis, die in unserer Arbeitsgruppe untersucht werden, zusammengestellt. Mehr Informationen zu:

Was unsere Origamis nicht sind

$kein Origami$
Um gleich von vornherein eventuelle Missverständnisse auszuräumen: Bei den Origamis, die in unserer Forschungsgruppe untersucht werden, handelt es sich nicht um die gleichnamige japanischen Papierfaltkunst. Mathematisches zu Papierfalten findet man z.B. hier:

Was unsere Origamis sind

Ein Origami $O$ in unserem Sinne ist eine endliche Überlagerung $P:=(\pi:X\to E)$ , wobei $X$ eine kompakte Riemannsche Fläche ist, $E$ eine kompakte Riemannsche Fläche von Geschlecht 1, und $\pi$ über höchstens einem Punkt verzweigt.
Da nach dem Uniformisierungssatz $E$ isomorph ist zur komplexen Ebene $\mathbb{C}$ modulo einem Gitter $\Lambda$ , und man ohne Einschränkung den kritischen Wert von $\pi$ als Gitterpunkt wählen kann, kann man $O$ auch wie folgt beschreiben: Man nehme eine endliche Anzahl von Fundamentalzellen von $\Lambda$ (genauer $d=\deg(\pi)$ Stück) und verklebe entsprechend der Monodromieaktion von $\pi_1(E)\cong\mathbb{Z}^2$ auf diesen Ober- mit Unterseiten und rechte mit linken Seiten.
Die Moral daraus ist, dass man (wenn man sich auf eine feste elliptische Kurve festlegt, z.B. $E=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z} )$ ) jedes Origami rein durch kombinatorische Daten beschreiben kann. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel:
$ein Origami$
Die Verklebung von Kanten ist durch die Kleinbuchstaben angezeigt. Wie eine kleine Rechnung zeigt, hat dieses Beispielorigami von Grad 6 das Geschlecht 2.

Konstruktion von Kurven im Modulraum mit Origamis

Wir interessieren uns u.a. deshalb für Origamis, weil sie einen interessanten Zugang zur Geometrie von Modulräumen liefern. Dieser soll im Folgenden skizziert werden:

1. Die Veechgruppe einer Translationsfläche

Sei $O:=(\pi:X\to E)$ ein Origami wie oben. Außerhalb des Verzweigungsortes von $\pi$ liftet sich die natürliche Translationsstruktur auf $E$ zu einer Translationsstruktur auf $X$ . Es bezeichne $\mbox{Aff}^+(X)$ die Gruppe der orientierungserhaltenden affinen Diffeomorphismen auf $X$ , also derjenigen orientierungserhaltenden Diffeomorphismen, die sich lokal als $x\mapsto Ax+b,\, A\in \mbox{GL}_2(\mathbb{R}), b\in\mathbb{R}$ beschreiben lassen. Während $b$ von der Wahl der Karte abhängt, ist $A$ durch den Diffeomorphismus eindeutig bestimmt. Die Gruppe aller so auftretenden Matrizen wird mit $\Gamma(O)$ bezeichnet und heißt Veechgruppe zu $O$ . Im Fall kompakter Translationsflächen ist $\Gamma(O)$ eine Untergruppe von $\mbox{SL}_2(\mathbb{R})$ , da Diffeomorphismen das Volumen erhalten müssen, und im Falle von Origamis ist die Veechgruppe sogar kommensurabel zu $\mbox{SL}_2(\mathbb{Z})$ . Die Frage, welche Gruppen als Veechgruppen auftreten können, ist bis jetzt noch nicht beantwortet.

2. Teichmüllerkreisscheiben

Es sei wieder $O:=(\pi:X\to E)$ ein Origami, der Einfachheit halber $E=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ . Weiter sei $V\subset X$ der Verzweigungsort von $\pi$ und $\mu_I$ die oben definierte Translationsstruktur auf $X^*:=X \backslash V$ . Wir betrachten den Teichmüllerraum $\mathcal{T}_{g,n}$ der $n$ -fach punktierten, markierten Riemannschen Flächen von Geschlecht $g=g(X)$ , wobei $n=\#V$ . Zur Vereinfachung wählen wir die zur Translationsfläche $(X^*,\mu_I)$ assoziierte kompakte Riemannsche Fläche $X_I$ mit Markierung $\mbox{id}$ als Basispunkt für $\mathcal{T}_{g,n}$ . Dann kann man $\mu_I$ als einen Vektor im (Ko-)Tangentialraum an $(X_I,\mbox{id})$ auffassen und man erhält aus den Daten (Punkt, Tangentialvektor) eine komplexe Geodätische in $\mathcal{T}_{g,n}$ , auch Teichmüllerkreisscheibe genannt, die man auch folgendermaßen beschreiben kann:

Sei $B\in \mbox{SL}_2(\mathbb{R})$ eine Matrix. Diese definiert eine neue Translationsstruktur $\mu_B$ auf $X^*$ wie folgt: Man nehme einen Atlas von $(X^*,\mu_I)$ und verknüpfe alle Karten mit der affinen Abbildung $z \mapsto B\cdot z$ . In dieser Weise deformiert man unter anderem die zur Translationsstruktur assoziierte komplexe Struktur auf $X_I$ . Sei $\mbox{id_B}:X_I\rightarrow X_B$ die Abbildung, die topologisch die Identität ist, aber die komplexe Struktur wechselt.
Wir erhalten also eine Abbildung $\tilde \varphi: \mbox{SL}_2(\mathbb{R})\to \mathcal{T}_{g,n}, B\mapsto (X_B,\mbox{id_B})$ . Orthogonale Matrizen ändern die Translationsstruktur nicht, daher faktorisiert $\tilde \varphi$ über $\mbox{SL}_2(\mathbb{R})/\mbox{SO}(2)\cong\mathbb{H}$ . Die induzierte Abbildung $\varphi: \mathbb{H}\to \mathcal{T}_{g,n}$ ist injektiv. Legt man die hyperbolische Metrik auf $\mathbb{H}$ und die Teichmüllermetrik auf $\mathcal{T}_{g,n}$ zugrunde, ist die Einbettung $\varphi$ sogar eine Isometrie auf ihr Bild.

3. Kurven im Modulraum

Es sei $p:\mathcal{T}_{g,n}\to\mathcal{M}_{g,n}$ die Projektion auf den Modulraum (also das "Vergessen" der Markierung), und sei $D$ eine Teichmüllerkreisscheibe wie oben. Es ist nun natürlich, sich das Bild $p(D)$ anzuschauen. Die Konstruktion aus 2. funktioniert natürlich mit einer beliebigen Translationsfläche. Im speziellen Fall von Origamis ist $p(D)$ sogar immer eine algebraische Kurve. Ausserdem gilt, dass $p(D)$ birational äquivalent zu $\Gamma(O)\backslash\mathbb{H}$ ist, dem Quotienten der oberen Halbebene nach der Veechgruppe des Origamis, die über Möbiustransformationen operiert.