Seminar "Morse Theory" (Wintersemester 2023/24)
- Dozent*in: Prof. Dr. Wilderich Tuschmann
- Veranstaltungen: Seminar (0126800)
- Semesterwochenstunden: 2
Das Seminar findet auf Englisch statt.
Die Vorbesprechung und Vortragsvergabe erfolgen am Mittwoch, den 26. Juli 2023 um 11:30 Uhr im Seminarraum -1.008 im Untergeschoss des Mathematikgebäudes (20.30).
| Termine | ||
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| Seminar: | Donnerstag 14:00-15:30 | 20.30 SR 2.066 |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Wilderich Tuschmann | |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 1.002 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: tuschmann@kit.edu | Seminarleitung | |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: | ||
Inhalt:
Die Morse-Theorie untersucht die Topologie von endlich- oder unendlichdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten mittels des Studiums des Extremalverhaltens von auf diesen Mannigfaltigkeiten definierten glatten Funktionen. Sie besitzt vielfältige und weitreichende mathematische und physikalische Anwendungen, so zum Beispiel auf die geodätische Struktur Riemannscher Mannigfaltigkeiten, Milnors exotische Sphären, Smales h-Kobordismus-Satz und die Lösung der verallgemeinerten Poincaré-Vermutung oder Botts Periodizitätssätze für die unitären und orthogonalen Gruppen.
Anhand John Milnors Lehrbuchs Morse Theory und weiterer Literatur werden im Seminar die Grundlagen und klassische Anwendungen der Morse-Theorie erarbeitet.
Themen:
- Morse-Lemma, Sublevelmengen und Ankleben von Zellen
- Morse-Ungleichungen
- Morse-Funktionen
- Der Indexsatz
- Approximation und Topologie des Wegeraumes
- Liegruppen und Symmetrische Räume
- Wegeräume und Homotopiegruppen
- Der Bottsche Periodizitätssatz für U(n)
Voraussetzungen:
Das Seminar richtet sich an Studentinnen und Studenten mit solider Kenntnis von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und Differentialgeometrie. Topologische Grundlagen über Homotopiegruppen, Homologietheorie und CW-Komplexe werden im Seminar behandelt.
Literaturhinweise
W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. 2nd edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando, FL, (1986).
A. HATCHER, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, (2002).(online verfügbar unter http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#ATI)
J. MILNOR, Morse theory. Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. (1963).
(Eine neu geTexte Fassung findet sich unter https://oldbookstonew.blogspot.com/)
R. STÖCKER & H. ZIESCHANG, Algebraische Topologie. Eine Einführung. 2nd edition. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, (1994).
R. M. SWITZER, Algebraic Topology – Homotopy and Homology. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 212. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, (1975).