Seminar über Morse-Theorie (Wintersemester 2011/12)
- Dozent*in: Prof. Dr. Wilderich Tuschmann (Sprecher des Institutes)
- Veranstaltungen: Seminar (0126900)
- Semesterwochenstunden: 2
| Termine | ||
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| Seminar: | Blockveranstaltung | Seminarraum 1C-01 |
| 27. - 29. Januar 2012 | Allianz-Gebäude (05.20) | |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Wilderich Tuschmann (Sprecher des Institutes) | |
| Sprechstunde: derzeit nur nach vorheriger Vereinbarung per E-Mail | ||
| Zimmer 1.002 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: tuschmann@kit.edu | Seminarleitung | Dr. Sebastian Grensing |
| Sprechstunde: In Elternzeit bis Februar 2021 | ||
| Zimmer 1.004 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: grensing@kit.edu | ||
Inhalt:
Die Morse-Theorie untersucht die Topologie von endlich- oder unendlichdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten mittels des Studiums des Extremalverhaltens von auf diesen Mannigfaltigkeiten definierten glatten Funktionen. Sie besitzt vielfältige und weitreichende mathematische und physikalische Anwendungen, so zum Beispiel auf die geodätische Struktur Riemannscher Mannigfaltigkeiten, Milnors exotische Sphären, Smales h-Kobordismus-Satz und die Lösung der verallgemeinerten Poincaré-Vermutung oder Botts Periodizitätssätze für die unitären und orthogonalen Gruppen.
Anhand John Milnors Lehrbuchs Morse Theory und weiterer Literatur werden im Seminar die Grundlagen und klassische Anwendungen der Morse-Theorie erarbeitet.
Themen:
- Morse-Lemma, Sublevelmengen bei Nichtexistenz kritischer Punkte
- Sublevelmengen bei Existenz kritischer Punkte, Ankleben von Zellen
- Morse-Ungleichungen und Morse-Funktionen
- Wegeraum, Energiefunktional und Jacobifelder
- Der Indexsatz
- Approximation und Topologie des Wegeraumes
- Konjugierte Punkte, Topologie und Krümmung
- Liegruppen und Symmetrische Räume
- Wegeräume und Homotopiegruppen
- Der Bottsche Periodizitätssatz für U(n)
Voraussetzungen:
Das Seminar richtet sich an Studentinnen und Studenten ab dem fünften Semester.
Grundkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Differentialgeometrie wie etwa im Rahmen einer Vorlesung über Riemannsche Geometrie sind wünschenswert. Topologische Grundlagen über Homotopiegruppen, Homologietheorie und CW-Komplexe werden im Seminar behandelt.
Literaturhinweise
W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. 2nd edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando, FL, (1986).
A. HATCHER, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, (2002).(online verfügbar unter http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#ATI)
J. MILNOR, Morse theory. Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. (1963).
R. STÖCKER & H. ZIESCHANG, Algebraische Topologie. Eine Einführung. 2nd edition. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, (1994).
R. M. SWITZER, Algebraic Topology – Homotopy and Homology. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 212. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, (1975).