Spin-Mannigfaltigkeiten, alpha-Invariante und positive Skalarkrümmung (Sommersemester 2016)
- Dozent*in: Prof. Dr. Stephan Klaus
- Veranstaltungen: Vorlesung (0154800), Übung (0154810)
- Semesterwochenstunden: 2+2
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Donnerstag 11:30-13:00 | SR 3.68 | Beginn: 2.6.2016, Ende: 14.7.2016 |
| Donnerstag 14:00-15:30 | SR 3.68 | ||
| Übung: | Dienstag 15:45-17:15 | SR 2.067 | |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Stephan Klaus | |
| Sprechstunde: n. V. | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: klaus@mfo.de | Übungsleiter | Dr. Jan-Bernhard Kordaß |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 1.021 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: kordass@kit.edu | ||
Termine
Die Vorlesung findet zu den folgenden Terminen jeweils von 11:30-13:00 und 14:00-15:30 statt:
- Do 02.06.2016
- Do 09.06.2016
- Do 16.06.2016
- Do 23.06.2016
- Do 30.06.2016
- Do 07.07.2016
- Do 14.07.2016
Inhalt
Eines der interessantesten, aber auch schwierigsten Gebiete der Differentialgeometrie ist die Untersuchung von Mannigfaltigkeiten mit einer positiven Krümmungsbedingung.
Insbesondere ist man hierbei an topologischen Invarianten interessiert, die hinreichende oder notwendige Bedingungen für die Existenz entsprechender Metriken liefern. Am weitesten ist man für Metriken mit positiver Skalarkrümmung ("pscm") gekommen, insbesondere für einfach-zusammenhängende Spin-Mannigfaltikeiten. Als Anwendung des Atiyah-Singer-Index-Theorems ist für pscm notwendig, dass die alpha-Invariante von Atiyah verschwindet, die das A-Geschlecht verfeinert. Gromov und Lawson vermuteten, dass diese Bedingung für einfach-zusammenhängende Spin-Mannigfaltigkeiten auch hinreichend für pscm ist.
Wir werden als Ziel der Vorlesung den Beweis dieser Vermutung 1992 von S. Stolz behandeln und dazu viele Grundlagen aus der Differentialtopologie und Homotopietheorie heranziehen, wie z.B. K-Theorie, charakteristische Klassen, Chirurgie, Spin-Bordismus, Pontrjagin-Thom-Konstruktion und Adams Spektralsequenz. Die Vorlesung wird an vielen Stellen einen Überblick über Ideen und Konzepte geben, Details können dann anhand von Literaturhinweisen selbst erarbeitet werden. Grundkenntnisse in Differentialgeometrie (z.B. Skalarkrümmung) und Topologie (z.B. singuläre Kohomologie) werden vorausgesetzt.
Literaturhinweise
S. STOLZ, Simply connected manifolds of positive scalar curvature. Annals of Mathematics, Band 136, S. 511-540, (1992).
H. LAWSON, M. MICHELSOHN, Spin Geometry. Princeton University Press (1990).
J. MILNOR, J. STASHEFF, Characteristic Classes. Princeton University Press (1974).
R. MOSHER, M. TANGORA Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory. Dover Books on Mathematics (2008).