KIT - Fakultät für Mathematik - Seminar zur höherdimensionalen Poincaré-Vermutung (Wintersemester 2013/14)

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Institut für Algebra und Geometrie

Arbeitsgruppe Topologie und Geometrische Gruppentheorie

Seminar zur höherdimensionalen Poincaré-Vermutung

Seminar zur höherdimensionalen Poincaré-Vermutung

Seminar zur höherdimensionalen Poincaré-Vermutung (Wintersemester 2013/14)

Dozent*in: Prof. Dr. Roman Sauer
Veranstaltungen: Seminar (0121800)
Semesterwochenstunden: 2

Die (verallgemeinerte) Poincaré-Vermutung besagt: Sei $M^n$ eine geschlossene glatte Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ , welche homotopieäquivalent zur Sphäre $S^n$ ist. Dann ist $M^n$ bereits homöomorph zur Sphäre $S^n$ .

Die Vermutung wurde 2002 abschließend im Fall $n=3$ durch die Arbeiten von Perelman gelöst (Fields-Medaille 2006). Einige Jahre zuvor (1982) löste Freedman den Fall $n=4$ (Fields-Medaille 1986). Den Grundstein legte Smale im Jahre 1961 als er einen Beweis der Vermutung für $n\geq 5$ veröffentlichte, ein Resultat, welches zur damaligen Zeit als sehr unwahrscheinlich galt. Auch hierfür wurde im Jahre 1966 eine Fields-Medaille vergeben.

In diesem Seminar wollen wir einen Beweis für den Fall $n\geq 5$ verstehen. Genauer werden wir ein allgemeineres Resultat, nämlich den h-Kobordismus-Satz, beweisen. Dieser besagt: Sei $W$ eine glatte kompakte Mannigfaltigkeit der Dimension $n\geq 6$ mit Rand $\partial W=V_1\sqcup V_2$ so, dass $W,V_1,V_2$ einfach zusammenhängend sind und $V_1,V_2$ Deformationsretrakte von $W$ . Dann ist $W$ diffeomorph zum Zylinder $W\times [0,1]$ .

Wir werden dem klassischen aber gut lesbaren Text Lectures on the h-cobordism theorem von Milnor folgen. Der Beweis stützt sich hauptsächlich auf Morse-Theorie, welche aber nicht vorausgesetzt wird. Allerdings werden grundlegende Begriffe aus der Differentialtopologie (glatte Mannigfaltigkeiten, Satz von Sard, etc.) und der algebraischen Topologie (Homologie, Thom-Isomorphismus, etc.) benötigt. Der Beweis ist abgesehen davon sehr geometrisch, es können viele Bilder gemalt werden.

Vorkenntnisse:

Einführung in die Geometrie und Topologie
Grundkenntnisse aus der algebraischen Topologie im Umfang der Vorlesung von Prof. Dr. Stephan Klaus im Sommersemester 2013

Termine
Seminar:	Montag 17:30-19:00	1C-01

Lehrende
Seminarleitung	Prof. Dr. Roman Sauer
	Sprechstunde: nach Vereinbarung
	Zimmer 1.001 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: roman.sauer@kit.edu

Das Programm befindet sich hier.

Bitte beachten Sie auch unbedingt diese Hinweise zur Vortragsvorbereitung. Lesen Sie auch die Hinweise des Kollegen Lehn durch.