Knotentheorie (Sommersemester 2014)
- Dozent*in: PD Dr. Manuel Amann
- Veranstaltungen: Vorlesung (0154800), Übung (0154810)
- Semesterwochenstunden: 2+2
Beginn der Vorlesung: 16.4.2014
Beginn der Übungen: 28.4.2014
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Mittwoch 14:00-15:30 | Z 1 |
| Übung: | Montag 15:45-17:15 | Z 1 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | PD Dr. Manuel Amann | |
| Sprechstunde: --- | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: manuel.amann@math.uni-augsburg.de | ||
Anschaulich gesprochen ist ein Knoten eine in sich verdrillte geschlossene Kurve. Mathematisch
gesehen entspricht das einer Einbettung der Kreislinie in den R3.
Dass dabei durchaus interessante Gebilde entstehen, zeigt der „Kleeblattknoten“ im Hintergrund.
Eine berühmte Frage der Knotentheorie ist nun die folgende: Egal, wie ich es „drehe
und wende“, egal, wie ich stauche oder ziehe, wann ist so ein Knoten nur eine etwas verformte
und verdellte Kreislinie?
Wie immer in der Topologie, leitet man sich aus der evtl. sehr komplexen Struktur eines Objektes
einfachere Charakteristika ab, die sich berechnen lassen und mit denen man die verschiedenen
Objekte unterscheiden kann. Stimmen diese Invarianten eines Knotens nicht mit denen
des Kreises überein, haben wir obige Frage zum Beispiel entschieden. (Für den Kleeblattknoten
lässt sich das in der Tat recht einfach erreichen.)
Wir wollen im Rahmen dieser Vorlesung zahlreiche solcher Invarianten kennenlernen und uns
die verschlungeneWelt der Knoten zugänglich machen. Hierzu werden wir die Färbbarkeit von
Knoten untersuchen, Reidemeister-Bewegungen studieren und klassische Invarianten wie Geschlecht,
minimale Kreuzungszahl, Entknotungszahl, Brückenzahl usw. kennenlernen. Weiter
sollen Jones-Polynom sowie Alexander-Polynom eingeführt und im folgenden hiernach weitere
Querverbindungen zu Topologie und Geometrie gezogen und studiert werden.
Die Vorlesung richtet sich an ein breites Publikum topologisch/geometrisch Interessierter.
Vorkenntnisse, die über Grundkenntnisse der Linearen Algebra und Analysis hinausgehen,
werden nicht vorausgesetzt. Alle notwendigen topologisch-geometrischen Konzepte werden in
der Vorlesung entwickelt. Besonders geeignet ist diese Vorlesung für Studierende des Lehramts
Mathematik.
Begleitet wird die 2-stündige Vorlesung von 2-stündigen Übungen und ist mit 5 ECTS Punkten
bewertet.
PDF-Version der Ankündigung
Übungsblatt 1
Übungsblatt 2
Übungsblatt 3
Übungsblatt 4
Übungsblatt 5
Übungsblatt 6
Übungsblatt 7
Übungsblatt 8
Übungsblatt 9
Übungsblatt 10
Übungsblatt 11
Literaturhinweise
1 G. Burde and H. Zieschang. Knots, volume 5 of de Gruyter Studies in Mathematics. Walter
de Gruyter & Co., Berlin, second edition, 2003.
2 W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory, volume 175 of Graduate Texts in Ma-
thematics. Springer-Verlag, New York, 1997.
3 D. Rolfsen. Knots and links, volume 7 of Mathematics Lecture Series. Publish or Perish
Inc., Houston, TX, 1990. Corrected reprint of the 1976 original.