Rationale Homotopietheorie (Wintersemester 2013/14)
- Dozent*in: PD Dr. Manuel Amann, Dr. Johannes Riesterer
- Veranstaltungen: Vorlesung (0106400)
- Semesterwochenstunden: 6
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 14:00-15:30 | 1C-02 | Beginn: 21.10.2013, Ende: 12.2.2014 |
| Mittwoch 14:00-15:30 | 1C-03 | ||
| Dienstag 15:45-17:15 | 1C-01 | ||
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | PD Dr. Manuel Amann | |
| Sprechstunde: --- | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: manuel.amann@math.uni-augsburg.de | Dozent | Dr. Johannes Riesterer |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Allianz-Gebäude (05.20) | ||
| Email: | ||
So einfach die Homotopiegruppen eines topologischen Raumes
als höherdimensionale Verallgemeinerungen der Fundamentalgruppe
zu definieren sind, so schwer sind sie im allgemeinen zu berechnen. Nicht einmal die Homotopiegruppen der Sphäre
sind bekannt.
Die Rationale Homotopietheorie stellt eine Version dieser Theorie dar, die zum Preise des Verzichts auf Torsionsaussagen, eine komplette und sehr elegante Übersetzung von Topologie zu Algebra liefert und effektive, konkrete Berechnungen zuläßt. Sie eignet sich daher insbesondere sehr gut zur Untersuchung einer Vielzahl von interessanten Problemen, die aus so verschiedenen Gebieten wie der Riemannschen oder symplektischen Geometrie, der Theorie der Transformationsgruppen, der kommutativen Algebra bis hin zur Robotik stammen.
Nach einer ausführlichen und grundlegenden Entwicklung der Theorie (mittels Sullivan Algebren) und einer elementaren Einführung in den Themenkomplex werden wir so zum Beispiel in der Lage sein, die rationalen Homotopiegruppen oder den rationalen Kohomologiering von kompakten homogenen Räumen
, also insbesondere von Sphären, berechnen zu können.
Wir wollen dann im Anschluss die Theorie so weiterentwickeln (und auch die verwendeten geometrischen Konzepte, wenn nötig, erläutern), dass sich zum Beispiel Fragen der folgenden Art diskutieren lassen:
- Wie viele "Löcher" hat eine kompakte Mannigfaltigkeit mindestens, wenn sie eine freie Torus-Operation zuläßt?
- Ist die Berechnung von Betti-Zahlen (und anderer Invarianten) NP-schwer?
- Welche symplektischen Mannigfaltigkeiten lassen Kählermetriken zu?
- Welche Konsequenzen hat positive Schnittkrümmung auf die Topologie einer Mannigfaltigkeit?
- Was macht "spezielle Holonomie" auch topologisch besonders?
Die Vorlesung richtet sich an alle topologisch/geometrisch Interessierten. Kenntnisse, wie sie in der Einführung in die Geometrie und Topologie respektive der Einführung in die Algebra und Zahlentheorie erworben werden können, werden vorausgesetzt.
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Übungen
Die Übungen finden am Dienstagstermin statt und werden gehalten von Dr. Johannes Riesterer. Die jeweils aktuellen Übungsblätter finden Sie hier.
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Prüfung
In einer mündlichen Prüfung können, anders als im Modulhandbuch angegeben, jetzt 8 ECTS-Punkte erworben werden. Nähere Informationen zur Prüfungsanmeldung bei Manuel Amann.
Literaturhinweise
Y. Felix, S. Halperin, J.-C. Thomas. Rational Homotopy Theory, volume 205 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2001
Y. Felix, J. Oprea, and D. Tanre. Algebraic models in geometry, volume 17 of Oxford
Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press, Oxford, 2008.