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Institut für Algebra und Geometrie
Arbeitsgruppe Geometrie

Seminar „Der Gromov-Hausdorff Raum"

Dozent: Prof. Dr. Alexander Lytchak

Inhalt:
Der Gromov-Hausdorff Abstand ordnet zwei metrischen Räumen einen nicht-negativen reellen Wert zu. Wie wir sehen werden, definiert diese Funktion eine Pseudometrik auf der Klasse der kompakten metrischen Räume. Identifizieren wir zueinander isometrische Räume der Klasse, so erhalten wir sogar einen metrischen Raum: Den Gromov-Hausdorff Raum.
Nach einer Einführung in die Thematik betrachten wir in diesem Seminar:

  • Topologische und geometrische Eigenschaften des Gromov-Hausdorff Raums.

Beispiel: Ist es möglich zwei Punkte im Gromov-Hausdorff Raum durch einen Weg zu verbinden, dessen Länge genau dem Abstand der Punkte entspricht?

  • Stabilitäts- und Approximationsfragen im Kontext der Gromov-Hausdorff Konvergenz.

Beispiel: Welche Räume können wir als Grenzwerte von endlichen metrischen Graphen erhalten?

  • Anwendungen auf mathematische Probleme außerhalb des Gromov-Hausdorff Raums.

Beispiel: Unter welcher Bedingung können wir einen beschränkten metrischen Raum in eine gegebene Anzahl an Teilmengen zerlegen, deren Diameter strikt kleiner als die des Raums sind.

Voraussetzungen: Ein vertrauter Umgang mit metrischen Räumen ist hilfreich.

Vortragsdauer: 60 Minuten inklusive Fragen

Anzahl der Plätze: 10

Termin: Mittwochs, 11:30-13:00 Uhr, Raum: SR 2.058

Vorbesprechung: Mittwoch 14.02.2024, 13:10-14:00 Uhr, Raum: SR 2.058

Kontakt: Bei Fragen wenden Sie sich bitte an: tobias.dott@kit.edu

Literatur:
(1) D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov. A course in metric geometry, volume 33 of
Grad. Stud. Math. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001.
(2) A. Petrunin. Pure metric geometry: introductory lectures. arXiv:2007.09846v9, 2023.
(3) C. Sormani and G. Wei. Hausdorff convergence and universal covers. Trans. Amer.
Math. Soc., 353(9):3585–3602, 2001.
(4) W. Tuschmann. Hausdorff convergence and the fundamental group. Math. Z., 218(2):207-211, 1995.
(5) A. A. Tuzhilin. Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry. arXiv:2012.00756v1, 2020.

Liste der möglichen Vortragsthemen:

  1. Der Hausdorff Abstand (1, S. 252-254)
  2. Der Gromov-Hausdorff Raum (1, S. 254-256, 258-259)
  3. Gromovs Pre-Kompaktheitssatz (1, S. 262-264)
  4. Gromov-Hausdorff Abstand via Korrespondenzen (5, S. 78-81)
  5. Der Gromov-Hausdorff Raum ist geodätisch (5, S. 90-92)
  6. Konvergenz von Längenräumen (1, S. 265-267)
  7. Ultragrenzwerte (2, S. 63-68)
  8. Ein Stabilitätssatz für die Fundamentalgruppe ( (1, S. 268), (3, S. 3588), (4, S.209-210) )
  9. Minimale Spannbäume auf endlichen metrischen Räumen (5, S. 53, 55, 81-82, 96)
  10. Das verallgemeinerte Borsuk-Problem (5, S. 101-104)

Die Literaturangaben sollen einen ersten Überblick über die Vortragsthemen verschaffen. Nach der Themenvergabe erhalten die Teilnehmenden noch genauere Informationen darüber, welche Resultate, Beweise, Definitionen etc. vorgestellt werden sollen.