Vorlesungsnotizen lineare Algebra
Vorlesung 1
Themen: Vektorräume, Unterräume Teilräume
Bemerkung: Die erste halbe Stunde dieser Vorlesung war Analysis aber die entsprechenden Notizen finden Sie im teil der Analysis
Vorlesung 2
Themen: Unterräume/Teilräume, Linearkombination, linearer Aufspan, affine Teilräume/Unterräume
Vorlesung 3
Vorlesung 3 Teil 2: Zeilennormalform
Themen: lineare Unabhängigkeit, Zeilenstufenform.
Bemerkung: Die Notation der Vorlesung wurde in den Notizen auf
damit die Notation mit der Notation des Programms zsfueberpruefen.m
anpasst.
'Zum Spaß, aber wichtig für Anwendungen :) '
Das folgende Matlab Programm überprüft, ob eine Matrix in Zeilenstufenform (ZSF) ist. Wenn die Matrix in (ZSF) ist dann kommt als output 1 ansonsten 0. Auch wenn die Matrix in ZSF ist dann kommt auch wenn man die Funktion benutzt wie viel r ist und wie viel sind. Das Programm ist geschrieben mit der Notation der Definition. Es gibt auch dazu viele Kommentare damit sie das Programm verstehen. Sie sind stark aufgefordert, das Programm herunterzuladen und damit zu experimentieren! Sie sind auch stark aufgefordert zu versuchen das Programm zu vestehen.
Das folgende Matlab Programm bekommt eine Matrix als input. Die Matrix wird in Zeilenstufenform überführt werden. Sie sind aufgefordert das Programm herunterzuladen und zu experimentieren. Sie sind auch aufgefordert, mit Hilfe des Programmes ein Program zu schreiben, das entscheidet, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht.
Hier geben wir eine kleine Änderung der Funktion zsfueberpruefen.m. Was sich ändert, ist das die Zahl r output ist.
Das folgende Programm entscheidet ganz schnell mit Hilfe der Funktionen zeilenstufenform.m und zsfueberpruefen2.m, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhaengig sind. Versuchen Sie zu verstehen was passiert. Viel Spaß
Hier ein Beispiel mit Anwendung (vergleichen Sie mit den Vorlesungsnotizen!!!)
>> a= 3 0 1 2 3; 0 0 5 0 4; 0 0 0 1 1; 0 0 0 0 0
a =
3 0 1 2 3
0 0 5 0 4
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
>> ZSFueberpruefen(a)
k =
1 3 4
r =
3
d =
3 5 1
ans =
1
c= 0 0 3 -5; 1 0 -2 4; 2 0 -13 23; 1 0 1 -2
c =
0 0 3 -5
1 0 -2 4
2 0 -13 23
1 0 1 -2
>> Zeilenstufenform(c)
b =
0 0 3 -5
1 0 -2 4
0 0 -9 15
1 0 1 -2
b =
0 0 3 -5
1 0 -2 4
0 0 -9 15
0 0 3 -6
b =
1 0 -2 4
0 0 3 -5
0 0 0 0
0 0 3 -6
b =
1 0 -2 4
0 0 3 -5
0 0 0 0
0 0 0 -1
ans =
1 0 -2 4
0 0 3 -5
0 0 0 -1
0 0 0 0
Vorlesung 4
Themen: Basen Dimension, Matrix-Vektor-Produkt, Umformulierung von linearen Gleichungssystemen mit dem Matrix Vektor Produkt
Aus zusätzlicher Erklärungen während der Vorlesung und unbeantworteter Mentimeter Fragen statten Ergänzungsnotizen zur Vorlesung 4, die am Anfang der Vorlesung 5
besprochen werden werden.
Ergänzung 1 zur Vorlesung 4
Ergänzung 2 zur Vorlesung 4
Antwort unbeantworteter Menti Fragen
1) Warum ist der Fall im Beispiel 1.6.3 so , dass dim(lin{C1,C2,C3}=2 ist ?
Weil wir eine Basis von lin{C1,C2,C3} gefunden haben mit 2 Elementen. Dabei muss man berücksichtigen, dass der linearer Aufspann
der Zeilen einer Matrix nicht geändert wird wenn wir Zeilenumformungen durchführen. Zusätzlich ist zu berücksichtigen, dass wenn ZSF erreicht wird
die Zeilen der Matrix, die nicht Null sind, sind linear unabhängig. Sie sind also eine Basis des linearen Aufspanns der Zeilen der ursprünglichen Matrix.
Siehe die Ergänzung 2 für ausführlichere Erklärungen.
2) Warum müssen wir beweisen, dass die Koordinaten eindeutig sind?
Ich werde versuchen zu erklären was die Eindeutigkeit bedeutet. Die Eindeitigkeit bedeutet, dass wir die Menge der gewählten Vektoren keine überflüssige Elemente hat. z.B. für das Pendel wenn wir drei Vektoren gewählt hätten dann wäre ein von den drei überflüssig was uns nicht helfen würde das Problem zu lösen.
Außerdem: Der Beweis ist sehr kurz und trägt dazu die Definition der linearen Unabhängigkeit zu verstehen und überhaupt die Aussage zu verstehen.
3) Wieso verändern sich die Koordinaten bei bsp 1.6.4 also von (1,0) zu (1,1) zum beispiel? Die Koordinaten hängen von der Basis ab. Jede Basis liefert andere Koordinaten.
zu 2) und 3) Siehe Ergänzung 1 der Vorlesung 4. Versuchen Sie die Aufgabe zu lösen!
4) Sind aj und cj abhängig oder nicht (Im Beweis der Eindeutigkeit)? Die Lineare Abhängigkeit betrifft die Vektoren und nicht die Zahlen. Wenn wir aber K als K Vektorrraum betrachten dann sind zwei Elemente von K immer linear Abhängig.
5) Kann c auch Element R sein ? Für die Matrix Vektor Multiplikation ja.
Vorlesung 5
Themen: Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen, Bild und Kern einer Matrix
Vorlesung 6
Themen: Eliminationsverfahren von Gauß, Dimensionsformel, Berechnung des Kerns, -1 Ergänzungstrick
Korrektur: Im Beispiel 1.10.1 ist sind die eltzten 2 Elemente von A 12 und nicht 11
Das folgende Matlabprogramm bringt eine Matrix in Zeilennormalform. Sie können damit experimentieren, kann aber auch ihnen helfen Ihre Lösungen zu überprüfen! Sie sind stark aufgefordert zu versuchen das Programm zu verstehen. Der größte Teil davon ist Kopie von zeilenstufenform.m
Das folgende Matlabprogramm bringt eine Matrix in Zeilennormalform und dann implementiert den -1 Ergänzungstrick
Vorlesung 7
Themen: Produkt von Matrizen, Invertierbare Matrizen, Inverse einer Matrix
Vorlesung 8
Themen: Mehr über invertierbare Matrizen, lineare Abbildungen
Vorlesung 9
Themen: Skalarprodukt, Norm, Orthogonalität, Orthogonormalsystem, Orthonormalbasis
Vorlesung 10
Themen: Orthogonalprojektionen, Gram-Schmidt Verfahren
Korektur: Im Bsp 2.4.2 müsste a sein da
und nicht
.
Vorlesung 11
Themen: Transponierte und konjugierte einer Matrix, orthogonale und unitäre Matrizen
Vorlesung 12 ohne die Lösung einer Mentimeter Frage
Determinanten: definierende Eigenschaften, Berechnung der Determinante mit Hilfe von Zeilen- oder Spaltenumformungen, Determinantenentwicklungssatz
Die folgenden Programme berechnen die Determinante mit Zeilenstufenform
und mit dem Determinantenentwicklungssatz.
Vorlesung 13
Themen: Bedeutung der Determinante, Determinantenmultiplikationssatz, Cramersche Regel, Inverse einer Matrix mit der Cramerschen Regel
Vorlesung 14
Themen: Kreuzprodukt, Spatprodukt