Evolutionsgleichungen (Sommersemester 2022)
- Dozent*in: apl. Prof. Dr. Peer Christian Kunstmann
- Veranstaltungen: Vorlesung (0156800), Übung (0156810)
- Semesterwochenstunden: 4+2
Bitte beachten Sie auch die Ilias Webseite: https://ilias.studium.kit.edu/goto.php?target=crs_1801537&client_id=produktiv
(Übungsblätter weden exklusiv auf Ilias veröffentlicht)
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 11:30-13:00 | 20.30 SR 2.66 |
| Donnerstag 9:45-11:15 | 20.30 SR 2.66 | |
| Übung: | Montag 14:00-15:30 | 20.30 SR 2.59 |
| Lehrende | ||
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| Dozent | apl. Prof. Dr. Peer Christian Kunstmann | |
| Sprechstunde: Donnerstag, 13 - 14 Uhr | ||
| Zimmer 2.027 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: peer.kunstmann@kit.edu | Übungsleiter | M.Sc. Marvin Raimund Schulz |
| Sprechstunde: Nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.026 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: marvin.schulz@kit.edu | ||
Evolutionsgleichungen entstehen, wenn man bei zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen den Zustand zu einem festen Zeitpunkt als eine Funktion der Ortsvariablen, also als ein Element in einem Banachraum geeigneter Funktionen auffasst. Beispiele hierfür sind Diffusionsgleichungen, Wellengleichungen, Schrödingergleichungen, Transportgleichungen, Navier-Stokes-Gleichungen, etc.
Die Evolutionsgleichung, die man erhält, hat dann die Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung in der Zeitvariablen. Die Werte der gesuchten Lösung liegen dabei in einem Banachraum und alles, was mit Ableitungen nach den Ortsvariablen zu tun hat, ist als -- im einfachsten Fall -- lineare aber in der Regel unbeschränkte Operatoren in diesem Banachraum zu betrachten. Evolutionsgleichungen beschreiben somit die zeitliche Dynamik von Systemen in einem Banachraum durch eine ``gewöhnliche Differentialgleichung''.
Wir betrachten in dieser Vorlesung lineare und autonome (dh unter Zeitverschiebung invariante) Probleme. Im wohlgestellten Fall werden dann die Lösungen durch eine einparametrige Halbgruppe beschränkter linearer Operatoren dargestellt. Für solche Operatorhalbgruppen gibt es eine gutentwickelte Theorie, die Aussagen über Eigenschaften des zugrunde liegenden dynamischen Systems erlaubt. Der Zugang beruht dabei wesentlich auf funktionalanalytischen Denkweisen und verwendet Resultate z.B. aus der Operator- und Spektraltheorie. Der lineare autonome Fall bildet die Grundlage für das Studium semilinearer Gleichungen durch geeignete Fixpunktmethoden oder auch zur Stabilität stationärer Lösungen.
Man erhält also insgesamt einen Rahmen, innerhalb dessen sich grundlegende Fragen nach Existenz, Eindeutigkeit, Regularität und Langzeitverhalten von Lösungen zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen behandeln lassen, der aber auch z.B. bei numerischen Fragen nach deren Zeitintegration genutzt wird.
In der Vorlesung befassen wir uns mit den grundlegenden Existenzsätzen für lineare autonome Evolutionsgleichungen. Darauf aufbauend, werden qualitative Eigenschaften der Lösungen untersucht, wie zum Beispiel Regularität oder das Langzeitverhalten. Außerdem studieren wir Störungen und Approximationen der Gleichungen (was eine Verbindung zur numerischen Analysis bietet). Die entwickelte Theorie wird etwa auf Wärmeleitungs-, Wellen- oder Schrödingergleichungen angewendet.
Es wird dringend empfohlen die Vorlesung Funktionalanalysis gehört zu haben. Benötigte Resultate aus der Spektraltheorie werden (ohne Beweis) wiederholt und erläutert.
Literaturhinweise
- Arendt, Wolfgang und Nagel, Rainer. „One-parameter semigroups of positive operators”. Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1184, 1986.
- Davies, Edward Brian. „One-parameter semigroups“. London Mathematical Society Monographs, 1980.
- Engel, Klaus-Jochen und Nagel, Rainer. „One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations”. Springer Graduate Texts in Mathematics, Vol. 194, 2000.
- Engel, Klaus-Jochen und Nagel, Rainer. „A Short Course on Operator Semigroups”. Springer Universitext, 2006.
- Goldstein, Jerome Arthur. „Semigroups of linear operators and applications”. Oxford Mathematical Monographs, 1985.
- Lunardi, Alessandra. „Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems”. Modern Birkhäuser Classics, 1995.
- Pazy, Amnon. „Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations”. Springer Applied Mathematical Sciences, Vol. 44, 1983.