Vorlesungsnotizen Analysis
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Vorlesung 1 Teil 1
Vorlesung 1 Teil 2
Themen: Aussagen Verknüpfung von Aussagen, Implikation, Äquivalenz,
Allquantor, Existenzquantor, Mengen.
Vorlesung 2
Themen: Teilmengen, Gleichheit von Mengen, Durchschnitt, Vereinigung, Differenz von Mangen, die Lehre Menge, katresisches Produkt.
Vorlesung 3 Teil 1
Vorlesung 3 Teil 2
Themen: Betrag einer reellen Zahl, komplexe Zahlen, Betrag einer komplexen Zahl, Realteil, Imaginärteil, komplex konjugierte Zahl,
Dreiecksungleichung
Vorlesung 4
Themen: Abbildungen, Bild, Urbild, surjektive, injektive, bijektive Abbildungen, Komposition von 2 Abbildungen
Vorlesung 5
Themen: Komposition, Umkehrabbildung, Intervalle, Körperaxiome und Anordnungsaxiome, nach unten/oben Beschränktheit, untere obere Schranken, Maximum, Minimum
Vorlesung 6
Themen: Supremum, Infimum, Vollständigkeitsaxiom, beschränkte Mengen.
Vorlesung 7
Themen: Natürliche Zahlen, Induktion, Rekursion, Produktzeichen, Summenzeichen, Fakultät
Zum Spaß
Die folgenden Programme in Matlab geschrieben sind Anwendungen der Rekursion.
Das erste Programm genannt fakultaet.m berechnet für jede natürliche Zahl n die Zahl n Fakultät( oder n!). Das Programm wurde in der letzten Vorlesung gezeigt.
Das zweite Programm genannt mergesort.m zusammen mit dem Programm merge.m macht folgendes: man gibt einen Vektor ein mit reellen Zahlen in beliebiger Reihenfolge. Das Programm gibt dann die Zahlen sortiert so dass jede Zahl kleiner gleich ist als die nächste. Mit einem solchen Algorithmus kann man zum Beispiel ein Katalog mit Telefonnummern sortieren so dass die Personen in alphabetischen Reihenfolge auftauchen. Dieser Algorithmus ist zumindest in Größe Ordnung der Effizienste Algorithmus der diese Sortierung macht.
Das Hauptprinzip des Programms ist das folgende: erst wird die erste Hälfte des Vektors sortiert, danach die zweite Hälfte des Vektors und mithilfe von merge.m werden die zwei Hälften zusammengesetzt in einem sortierten Vektor. Laden Sie alle diese Programme herunter und experimentieren Sie!
fakultaet.m
mergesort.m
merge.m
Vorlesung 8
Themen: Permutationen, Binomialkoeffizienten, Binomialsatz, Bernoullische Ungleichung und Folgerungen.
Vorlesung 9
Themen: Wurzeln, Polardarstullung und Potenzen von Komplexen Zahlen, die Gleichung .
Vorlesung 10-11
Themen: Fundamentalsatz der Algebra, Folgen, Konvergent, Grenzwertsetze, Teilfolgen, Häufungswerte
Vorlesung 12
Themen: Satz von Bolzano Weierstrass, Rechnen mit unendlich, Limes Superior/ Limes Inferior
Ergänzungen: (i) Herleitung von , (ii)Interpretation der Multiplikation/ Division mit einer komplexen Zahl
Weitere Ergänzung (für die stärksten Leute!): Einen Beweis das jede Folge eine monotone Teilfolge hat finden Sie in
http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm1etec2016w/seite/vorlesungsnotizen/media/monteilfolge.pdf
Dieses Mal wurden die Notizen der Vorlesung 13 im Voraus hochgeladen.
Vorlesung 13
Themen: Reihen und Elementare Eigenschaften, geometrische Reihe, harmonische Reihe, Leibnitzkriterium, Majoranten/minoranten kriterium.
Vorlesung 14
Themen: Majoranten/minoranten kriterium (Beispiele), Wurzelkriterium, Quotientenkriterium
Vorlesung 15 (ohne ein wichtiges Mentimeter Beispiel)
Ergänzung: Ausführlicherer Beweis des Satzes 7.3
Mentimeter Beispiel
Themen: Eulersche Zahl e, Exponentialreihe/Exponentialfunktion und Eigenschaften davon.
Das folgende Matlabprogramm approximiert die Exponentialgunktion ausschließslich mit Summe Multiplikation division.
expapproxa(x,f) approximiert mie Fehler kleiner als f.
z.B. wie im Mentimeter Beispiel expapproxa(0.5,0.001) approximiert mit Fehler kleiner als 0.001. Das Programm allerdings gibt die Zahl N (Anzahl der Terme der Reihe die für die Approximation gebraucht wurden). Expliziter
>> expApproxa(0.5,0.001)
N =
5
ans =
1.6484
Wenn man vergleicht mit
>> exp(0.5)
ans =
1.6487
Sieht man dass die Approximation in den ersten 3 nachkomma Stellen stimmt. Laden Sie das Programm herunter und versuchen Sie alles zu verstehen. Spielen Sie auch mit verschiedenen Werten! Viel Spaß!
Vorlesung 16
Sinus, Cosinus, Potenzreihen und Konvergenzradius
Vorlesung 17 ohne die Antwort einer Mentimeter Frage
Lösung der Mentimeter Frage
Themen: Limes und Stetigkeit von Funktionen, Zwischenwertsatz
Zum Spaß: Die Anwendung des Zwischenwertsatzes am Biergarten, die in der Vorlesung erwähnt wurde wird ausführlicher erklärt in dem folgenden youtube Video auf Englisch
Viel Spaß!!!!
https://www.youtube.com/watch?v=OuF-WB7mD6k
Was bringt der Zwischenwertsatz? Kann uns helfen Gleichungen zu lösen. Das folgende Programm Illustriert,die sogenannte Bisektionsmethode. z.B. ist f stetig und f(1)=-1 und f(2)=1 dann hat f Nullstelle zwischen 1 und 2. Der Computer kann aber jetzt f(1,5) berechnen. Ist f(1,5)=0 dann haben wir eine Nullstelle gefunden. Ist f(1,5)<0 dann hat f eine Nullstelle zwischen 1,5 und 2. Ist f(1,5)>0 dann hat f eine Nullstelle zwischen 1 und 1,5. Wenn wir das wiederholen, können wir eine Nullstelle approximieren mit Fehler, der so klein ist, wie wir wollen. Nach dem Programm gibt es Beispiel, wie man das Programm benutzen kann (man braucht den Befehl inline, weil eine Funktion f input ist)
Vorlesung 18
Themen: Einseitige Grenzwerte, monotone Funktionen, natürlicher Logarithmus
Vorlesung 19
Themen: Die allgemeine Potenz, der allgemeine Logarithmus
Vorlesung 20
Themen: sin, cos, tan, ihre Umkehrabbildungen, und Anwendung in der Polardarstellung der komplexen Zahlen.
Vorlesung 21
Themen: Existenz von Maximum/Minimum einer stetigen Funktion, Ableitung, Regeln für die Ableitung.
Vorlesung 22
Themen: Ableitung der Umkehrfunktion, (lokale) Extrema einer Funktion, Mittelwertsatz und Folgerungen
Vorlesung 23
Themen: Satz von Taylor
Das folgende Matlabprogramm approximiert die Exponentialfunktion durch Polynome nah bei 0, wie erklärt in der Vorlesung.
exptaylorgraph.m
Vorlesung 24
Themen: Beispiele/Anwendungen des Taylorsatzes
Achtung: Im Beispiel 10.4.4 (iii) gibt es eine Korrektur. Die Konstante c ist (sie hängt von n ab). Bitte korrigieren Sie
das in ihren Notizen auch.
Das folgende Matlabprogramm Approximiert cos(x) mit n richtigen nachkomma stellen mit dem Satz von Taylor und nur mit Polynomen.
Es ist wirklich kurz, laden Sie es herunter und experimentieren Sie. Versuchen Sie es umzuschreiben damit die Sinus Funktion approximiert wird. Versuchen Sie auch das Programm zu verstehen.
Vorlesung 25
Themen: Folgerungen des Taylotsatzes, lokale Minina/Maxima, konvexe, konkave Funktionen, l'Hospital Regel, Ableitung von Potenzreihen
Achtung: Bitte achten Sie auf die Korrektur des Druckfehlers in der letzten seite: R=1 weil der Limes des Nenners existiert. Allgemein gilt
. Manchmal gilt Gleichheit (z.B wenn der Limes existiert) aber nicht immer.
Vorlesung 26
Themen: Untersummen, Obersummen, unteres Integral, oberes Integral, Riemann Integral, Riemannsche Summen, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Die folgenden Matlabprogramme illustrieren die Untersummen, die Obersummen, und die Riemannschen Summen. Laden Sie die Programme herunter und experimentieren Sie.
obersumme.m
riemannsumme.m
unterobersumme.m
untersumme.m
Vorlesung 27
Themen: partielle Integration, Integration durch Substitution
Vorlesung 28
Themen: Uneigentliche Integrale
Vorlesung 29
Themen: Konvergenz absolute Konvergenz von uneigentlichen Integralen, Majoranten/Minorantenkriterium für uneigentliche Kriterium, Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.