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Institut für Analysis

Arbeitsgruppe Angewandte Analysis

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Elektrotechnik und I

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Elektrotechnik und I

HM2 Notizen

Wenn Sie Druckfehler finden bitte melden Sie sich bei ioannis.anapolitanos@kit.edu.

HM2 Vorlesung 1 13.04
Themen: Produkt von Matrizen, Einheitsmatrix, invertierbare und reguläre Matrizen, Inverse Matrix, lineare Abbildungen als Matrizen.

HM2 Vorlesung 2 14.04
Themen: lineare Abbildungen als Matrizen, Skalarprodukte, Cauchy-Schwarz Ungleichung, Normen.

HM2 Vorlesung 3 16.04
Orthogonale Vektoren, Orthonormalsysteme, Orthonormalbasen, Satz über die koeffizienten einer Linearkombination eines Orthonormalsystems, Gram-Schmidt Verfahren, die transponierte Matrix, konjugiert komplexe einer Matrix.

HM2 Vorlesung 4 21.04
Themen: Rechenregeln für die transonierte und adjungierte Matrizen, Orthogonale und unitäre Matrizen, Orthogonalprojektionen.

HM2 Vorlesung 5 23.04
Themen: Determinante, Definierende Eigenschaften und Folgerungen. Untere und obere Dreiecksmatrizen.
Verschiedene Algorithmen, die Determinante zu berechnen (mit Zeilen, Spalten Umformungen, und mit dem Determinantenentwicklungssatz)

Das folgende Matlab Programm im letzten Semester diskutiert, bringt eine Matrix in Zeilenstufenform. Ändern Sie das Programm, damit es die Determinante der Matrix berechnet. Die Änderungen sind ganz wenig! In den Notizen der letzten Vorlesung findet man was man ändern muss.

zeilenstufenform.m

HM2 Vorlesung 6 28.04
Themen: Determinantenmultiplikationssatz, Cramersche Regel, Formel für die Inverse Matrix durch Determinanten, Bedeutung der Determinante, Orientierung, Kreuzprodukt, Spatprodukt.

Das folgende Matlab Programm ist die Lösung der Aufgabe der letzten Woche, geschrieben von Herrn Ricardo Pes.
Laden Sie das Programm herunter und Experimentieren Sie.

zsfdetstud.m

Das folgende Matlabprogramm berechnet die Determinante mit Hilfe des Determinantenentwicklungssatzes und nur mit elementarer Rekursion. NUR 5 Zeilen lang! Laden Sie das Programm herunter und Experimentieren Sie. Versuchen Sie die Details des Programms zu verstehen.

Entdet.m

HM2 Vorlesung 7 30.04
Bemerkung: Die Notizen des Files sind ausfürlicher als die Notizen der eigentlichen Vorlesung.
Themen: Eigenvektoren, Eigenwerte, Eigenräume, Charakteristisches Polynom, algebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes.

HM2 Vorlesung 8 05.05
Themen: Ähnliche Matrizen, diagonalisierbarkeit und diagonalisierung von Matrizen

HM2 Vorlesung 9 07.05
Themen: Bemerkungen zu ähnlichen Matrizen. Ktiterien der Diagonalisierbarkeit. Symmertische und hermitesche Matrizen.

HM2 Vorlesung 10 12.05
Themen: Definierheit von Matrizen und Kriterien, Hurwitzkriterium, Differentialgleichungen erster Ordnung.

HM2 Vorlesung 11 19.05
Themen: Differentialgleichungen Höherer Ordnung ( homogen inhomogen). Bestimung der Menge der Lösungen einer inhomogenen Differentialgleichung. Variation der Konstanten.

HM2 Vorlesung 12 21.05
Themen: Folgen in $\mathbb{R}^n$ . Offene geschlossene und wegzusammenhängende Mangen. Limes und Stetigkeit von Funktionen von mehreren Variablen.

HM2 Vorlesung 13 26.05
Themen: Raumkurven, Bogenlängen von Raumkurven, Richtungsableitungen, partielle Abbleitungen, Ableitung von Funktionen von mehreren Variablen.

Die Vorlesung ist aufgezeichnet worden. Eine Aufzeichnung finden Sie im Link
https://www.youtube.com/watch?v=BmquOqlANik&list=PLfk0Dfh13pBO29-m3gVJXhxjhE-MjUhcT&index=7

richtungsabbleitung.m
Dieses Matlab Programm Illustriert die Richtungsabbleitung die wir in der Vorlesung berechnet haben. Laden Sie das Programm herunter und experimentieren Sie. Aufgabe zum Spaß: zwei Richtungsabbleitung werden geometrisch dargestellt. Können Sie aus dem Programm verstehen welche die andere Richtung ist?

bogenlaenge.m
Dieses Matlab Programm illustriert, wie man die Länge der Kurve $\gamma_3$ definieren würde. Laden Sie das Programm herunter und experimentieren Sie. Können Sie verstehen was diese Animation macht?

HM2 Vorlesung 14 28.05
Themen: Eigenschaften von differenzierbaren Funktionen, Kriterium für Differenzierbarkeit, Ableitungen höherer Ordnung, Satz von Schwarz, der Gradient.

HM2 Vorlesung 15 02.06
Themen: Gradient vs Richtungsableitung und Anwendungen. Kettenregel, Umkehrsatz.

Die Vorlesung ist aufgezeichnet worden

https://youtu.be/0nrT2zUfXgY?list=PLfk0Dfh13pBO29-m3gVJXhxjhE-MjUhcT

Das folgende Matlabprogramm hat die Skizze der Govotefrage. Können Sie aus dem Program bestätigen, dass der Lila Vektor in der Tat der Gradient von f an der gegebene Stelle ist?

gradientillustration.m

HM2 Vorlesung 16 05.06
Themen: mehr über den Umkehrsatz, Satz über die implizit definierten Funktionen, Taylorsatz

Bitte korregieren Sie Ihre Notizen. Die Formel (**) am Ende der Seite 116 und die Zeile davor sind korrigiert worden.

Die Vorlesung ist aufgezeichnet worden

https://www.youtube.com/watch?v=D2MWzDAknOE&index=9&list=PLfk0Dfh13pBO29-m3gVJXhxjhE-MjUhcT

HM2 Vorlesung 17 08.06
mehr zum Taylorsatz, kritische Punkte, lokale Extrema, Sattelpunkte.
Bitte korregieren Sie Ihre Notizen. Die zweite Zeile der Seite 116 ist korrigiert worden ( $k \choose l$ hat gefehlt) .

Das folgende Matlab Programm zeigt, eine Skizze, der Funktion $f(x,y)=y^2-x^2$ . Laden Sie das Programm herunter und drehen Sie den Graphen. Er sieht wie ein Sattel aus! In der Vorlesung haben wir gesehen, dass $(0,0)$ ein Sattelpunkt von $f$ ist. Das der Graph in der Nähe von (0,0) wie ein Sattel aussieht erklärt den Namen Sattelpunkt.

Graph.m

Varianten des Graphen folgen wo mit den Ebenen z.B. x=0, y=0 schneiden. Die Kurve, wo die Ebene und der Graph sich treffen ist entsprechend eine parabel die nach oben, bzw. unten zeigt.

Graph1.m
Graph2.m
Graph3.m
Graph4.m

HM2 Vorlesung 18 11.06
Themen: Noch zwei Bemerkungen zur Definitheit von Matrizen. Extremwertprobleme mit und ohne Nebenbediengungen. Multiplikationsregel von Lagrange.
Zusätzliche Bemerkungen gibt es am Ende der Seiten 129, 135 und in 136.

HM2 Vorlesung 19 16.06
Themen: Skalarfelder Vektorfelder, Rotation, Divergenz, Laplaceoperator, Produktregeln, Hintereinanderausführung.

Das folgende Matlabprogramm ist Änderung des Programms gradientillustration.m
das vor ein paar Wochen hochgeladen wurde (siehe oben). In diesem Programm gibt es dazu Niveauxlinien der Funktion. Machen Sie sich klar, dass $\nabla f(x_0,y_0)$ senkrecht ist zu der Niveauxlinie von $(x_0,y_0)$ . Diese Aussage, wird benutzt für die Herleitung der Lagrangeregel.

gradientillustrationmitniveuax.m

HM2 Vorlesung 20 18.06
Themen: Kurvenintegrale von Skalarfeldern, Kurvenintegrale von Vektorfeldern.

Das folgende Matlabprogramm auch am Anfang der Vorlesung gezeigt, illustriert das Kurvenintegral eines Skalarfeldes als Limes von Riemannschen Summen mit Hilfe einer Animation. Laden Sie das Programm herunter und experimentieren Sie. Drehen Sie auch das Bild.

kurvenintegralanimation1.m

Zum Spaß: Ändern Sie das Programm damit Sie die Masse des Drahts (siehe Notizen) als Limes von Riemannschen Summen geometrisch darstellen.

HM2 Vorlesung 21 23.06
Themen: Einfach zusammengängende Mengen, Potentialfelder (=Gradientfelder=konservative Felder)

Um Verwirungen zu vermeiden: In der Physik definiert man meistens das Potential $f$ eines Potentialfeldes $\vec{v}$ durch $\vec{v}=-\nabla f$ . Trotzdem in der HM2 definieren wir das Potential $f$ durch $\vec{v}=\nabla f$ .

HM2 Vorlesung 22 25.06
Themen: Integration über Teilmengen von $\mathbb{R}^2$ . Gaußscher Integralsatz in $\mathbb{R}^2$ .

Das folgende Matlabprogramm zeigt, wie man das Volumen zwischen dem Graphen von $f$ und der $xy$ Ebene mit Obersummen approximiert. Laden Sie das Programm herunter und experimentieren Sie. Zum Spaß: in der Vorlesung 22 wurde auch die Approximation mit Untersummen gezeigt. Können Sie das Programm ändern, damit Sie untersummen bekommen?

integration2driemann.m

Das folgende Matlabprogramm auch in der Vorlesung 22 gezeigt illustriert geometrisch den Satz 1.

Integration2dx.m

HM2 Vorlesung 23 29.06
Themen: Gaußscher Integralsatz (Beweis Beispeil) und Variante des Satzes, Ausfluss.

HM2 Vorlesung 24 30.06
Themen: Beispiel zum Ausfluss, Divergenzsatz, Bedeutung der Divergenz, Integrale über Teilmengen von $\mathbb{R}^3$ , Prinzip von Cavalieri.

HM2 Vorlesung 25 02.07
Themen: Transformationsformel, Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten.

Druckfehler: Auf den Seiten 185b und 188 sollte $\Phi'$ durch $(\Phi')^T$ ersetzt werden. Das macht aber keinen Unterschied, wenn man die Determinante berechnet.

HM2 Vorlesung 26 05.07
Themen: Kugelkoordinaten, Flächendarstellungen, Normaleneinheitsvektor.

HM2 Vorlesung 27 07.07
Themen: mehr über den Normaleneinheitsvektor. Flächenintegrale von Skalarfeldern und Vektorfeldern.

HM2 Vorlesung 28 13.07
Themen: Divergenzsatz in $\mathbb{R}^3$ . Integralsatz von Stokes.

HM2 Vorlesung 29 17.07
Beipsiele von verschiedenen Themen. Bemerkung: Die Formeln des letzten Beispieles heißen, Greensche Formeln.