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HM3 Notizen

Wenn Sie Druckfehler finden melden Sie sich bitte bei ioannis.anapolitanos@kit.edu

HM3 Vorlesung 1 22.10.2015
Themen: Trennung von Variablen, Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,
Bernouli Differentialgleichungen.

Druckfehler im File der ersten Vorlesung: Aus der Seite 7 des pdf Files der ersten Vorlesung gibt es die Formel für die Lösung des Anfangswertproblems. In diesem Fall ist  A(x) nicht eine irgendwelche Stammfunktion von x sondern A(x)=\int_{x_0}^x a(\xi) d \xi. Auserdem wieder auf der Seite 7 fehlt in der Bearbeitung der Bernoulli Gleichung der Term (1-\alpha)y^{1-\alpha}.

HM3 Vorlesung 2 23.10.2015
Themen: Ricatti Differentialgleichungen, Exakte Differentialgleichungen,
integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator).


Das folgende Matlabprogramm illustriert die Orthogonalität der Kurven der Lösungen zu dem Vektorfeld für die exakte Differentialgleichung der Seiten 15-16.
Versuchen Sie das Programm zu verstehen.
vekfeldexakt.m

Bemerkung: Hier vielleicht eine Bemerkung über die Verwirrung die die Gravitation in zwei Dimensionen erzeugt hat. Man muss sich vorstellen, dass die Welt zwei Dimensional ist. In diesem Fall ist die Gravitation anderes als in drei Dimensionen.

Korrektur: Bitte überprüfen Sie die Seiten 11-12. Mehr Details sind geschrieben worden, und ein paar Druckfehler sind auch korrigiert worden.

Bemerkung zu einer Frage eines Studentens: Ein Student hat gefragt, warum
alle Lösungen einer Exakten Differentialgleichung der Art F(x,y)=0 sind. Eine kurze Antwort ist, dass im Beweis der Vorlesung Äquivalenzen gelten.


HM3 Vorlesung 3 29.10.2015
Themen: Integrierender Faktor der Art \mu(\phi(x,y)), lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Existenz und Eindeutigkeit Satz für Anfangswertprobleme, Fundamentalsysteme, Wronksi Determinante, Redunktionsvehrfahren von d'Alembert.

Druckfehler: Im File der Vorlesung 3 Seite 10, "weil y_1'' Lösung von (*)" sollte y_1'' durch y_1 ersetzt werden. Auf der gleichen Seite vier Zeilen nacher muss \frac{y_1'(x)}{y(x)} durch \frac{y_1'(x)}{y_1(x)} ersetzt werden. Seite 6: 5te Zeile von unten. Bei d(x)=x*e^{x^2/2} fehlt noch c(x).

Das folgende Maple file hat (i) Illustration des Beispieles der Vorlesung 2 Seite 11/12
(ii) Simulation der Bewegung entlang der Parabel (siehe Vorlesung 3 zweite Seite). Laden Sie das Programm herunter und experimentieren Sie. Versuchen Sie, die Simulation zu verbessern. Bemerkung: Der Teil (i) ist von den Files von Herrn Antoni genommen worden.
hm3maple1.mw

Herr Leonid Chaichenets hat eine bessere Fassung der Simulation programmiert in Python.

inv.gif

Im folgenden File sehen Sie auch die Lösung von Herrn David Reichenbacher für das Problem des Balles der sich auf einer Parabel bewegt.

Herleitung und Diskussion der Bewegung des Balles



HM3 Vorlesung 4 05.11.2015
Themen: Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung, homegene, inhomogene, mit konstanten Koeffizienten.

Bemerkung: Die impliziten Differentialgleichungen werden nächste Woche beigebracht werden. (Das ist das nächste Thema)


HM3 Vorlesung 5 12.11.2015
Themen: Implizite Differentialgleichungen, Eulersche Differentialgleichungen, Potenzreihenansätze.

Eine Physikalische Anwendung der Eulerschen Differentialgleichung, die in der Vorlesung nicht diskutiert wurde, kann man im folgenden File finden
Eine Anwendung der Eulerschen Differentialgleichung

Seite 4: Am ende der 1. Seite zur Eulerschen Diffgl. anstatt e^{-t} sollte e^{-2t} stehen. Seite 5: Bei der Resubstitution (in rot) steht x=e^{-t} statt x=e^t.

HM3 Vorlesung 6 19.11.2015
Themen: Mehr zu Potenzreihenansätze, Differentialgleichung einer Trommer und einer Saite, Besselsche Differentialgleichung, abgewandelter Potenzreihenansatz.

Druckfehler: In der letzten Seite die Gleichung (4) sollte am Ende (5/(4*5)) c3 = ((1*5)/5!) c1 haben.

Bemerkung: Bitte lesen Sie das pdf File. Die Notizen wurden verbessert und ausführlichere Erklärungen sind geschrieben worden.

HM3 Vorlesung 7 26.11.2015
Themen: Abgewandelter Potenzreihenansatz, Eulersche Differentialgleichungen (alternative methode), Differentialgleichungssysteme, Satz von Picard-Lindelöf

Bemerkung: Zum ersten Beispiel gibt es zusätzliche Notizen und zwar wird y_2(x) ausführlich berechnet.

HM3 Vorlesung 8 03.12.2015
Themen: Beweisskizze des Satzes von Picard Lindelöf, Globale Existenz, Lemma von Gronwall, Lineare Differentialgleichungssysteme, Variation der Konstanten

Bemerkung: Die Seite 9 des Files hat ein Zusätzliches Beispiel zur dem Verfahren von Picard Lindelöf.

HM3 Vorlesung 9 10.12.2015
Fundamentalsysteme von Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten.



Die Vorlesung 10 für die Elektrotechnik (die fast gleich wie die Vorlesung 10 der Physik war) ist aufgezeichnet worden. Aus technischen Gründen sind ein paar Minuten am Anfang nicht aufgezeichnet worden. In diesen Minuten aber wurde die vorherige Vorlesung wiederholt.

https://www.youtube.com/watch?v=9IEownSGnLE&feature=youtu.be

Die Notizen der Vorlesung 10, haben auch einen Teil der Vorlesung 9.

HM3 Vorlesung 10 17.12.2015
Themen: Mehr zu Fundamentalsystem von Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten, die Exponentialmatrixfunktion, kleine Einführung zur partiellen Differentialgleichungen, Anfang der Methode der Charakteristicken.

HM3 Vorlesung 11 07.01.2016
Methode der Charakteristicken für lineare und Quasilineare partielle Differentialgleichungen

HM3 Vorlesung 12 14.01.2016
Die Potentialgleichung, Grundlösung der Laplace Gleichung in \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3 , Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip für harmonische Funktionen und Anwendungen.

HM3 Vorlesung 13 21.01.2016
Greensche Funktionen, Herleitung der Wärmeleitungsgleichung, Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung.

HM3 Vorlesung 14 28.01.2016
Lösung der Wärmeleitungsgleichung in \mathbb{R}^n. Separationsansatz.

HM3 Vorlesung 15 05.02.2016
Wellengleichung im ganzen \mathbb{R} und auf einem Intervall. Bemerkung: Die Wellengleichung in Dimensionen 2 und 3, die am Ende der Vorlesung eingefürt wurde ist nicht Prüfungsrelevant. Das Rezept für den Saparationsansatz ist sehr grob.