Fourierreihen (Sommersemester 2014)
- Dozent*in: Prof. Dr. Dirk Hundertmark
- Veranstaltungen: Proseminar (0170800)
Die Vorbesprechung findet am Dienstag, den 15.04.2014 um 13.00 Uhr im 3A-01 (Allianz-Gebäude) statt.
| Termine | ||
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| Proseminar: | Dienstag 9:45-11:15 | Funktionsraum 3A-01 (Allianz-Gebäude) |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Dirk Hundertmark | |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer 2.028 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: dirk.hundertmark@kit.edu | Seminarleitung | Dr. Tobias Ried |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.030/2.031 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: tobias.ried@kit.edu | ||
Aus dem ersten Studienjahr sind die Taylorreihen bekannt, durch die eine (sehr glatte) Funktion in der Nähe eines Entwicklungspunktes als Potenzreihe dargestellt werden kann. Die gegebene Funktion wird damit durch Polynome auf einem Intervall gleichmäßig approximiert wird. Wenn man jedoch eine auf den reellen Zahlen definierte -periodische Funktion betrachtet, dann würde man sich eine gleichmäßige Approximation durch periodische Funktionen wünschen. Es liegt nahe, dazu Reihen der Form
zu verwenden. Solche Funktionenreihen nennt man Fourierreihen, zu Ehren von Joseph Fourier, der sie Anfang des 19. Jahrhunderst systematisch zur Behandlung der Wärmeleitungsgleichung verwendete. Allerdings wurden diese Reihen schon im 18. Jahrhundert von Euler und anderen benutzt, um Schwingungsphänomene zu untersuchen. In diesem Fall beschreiben die einzelnen Sinus- oder Kosinusfunktionen reine Schwingungen, und die Fourierreihe ist eine Überlagerung dieser reinen Schwingungen. Erstaunlicherweise haben Fourierreihen noch zahllose andere Anwendungen in (fast?) allen Gebieten der Mathematik und darüberhinaus. Auf der anderen Seite hat ihre Untersuchung der Entwicklung der Analysis bedeutende Impulse gegeben, insbesondere weil ihr Konvergenzverhalten weitaus komplexer und interessanter ist, als etwa das der Taylorreihen.
Im Proseminar behandeln wir einige unterschiedliche Konvergenzsätze, die ausgehend vom ersten Studienjahr zugänglich sind, sowie eine Reihe von Anwendungen.
Für das Seminar werden die Vorlesungen Analysis I+II und Lineare Algebra I+II vorausgesetzt.
Literaturhinweise
T. W. Körner: Fourier Analysis. Cambridge University Press, 1988. (Part I)
Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis, an Introduction. Princeton, 2003. (Chapter 1-4, 7.1)
Otto Forster: Analysis 1 (11., erweiterte Auflage). Springer Spektrum, 2013. (Kapitel 23)