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Institut für Analysis

Arbeitsgruppe Angewandte Analysis

Proseminar Fourierreihen

Proseminar Fourierreihen

Proseminar (Analysis: Fourierreihen) (Wintersemester 2023/24)

Dozent*in: apl. Prof. Dr. Peer Christian Kunstmann
Veranstaltungen: Proseminar (0123300)
Semesterwochenstunden: 2

Vorbesprechung

Montag 24. Juli 2023, 13:10-13:45 Uhr, Raum 2.067.

Fourierreihen wurden 1822 von Fourier zur Behandlung $2\pi$ -periodischer Funktionen eingeführt. Für eine $2\pi$ -periodische Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ , die z.B. stetig ist, und $k\in\mathbb{Z}$ beschreibt der $k$ -te Fourierkoeffizient $\widehat{f}(k):=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-ikt}f(t)\,dt$ , welchen Anteil die Frequenz $k$ in $f$ hat.
Man erhält so auch die zunächst formale Fourierreihe $\sum_{k=-\infty}^\infty \widehat{f}(k) e^{ikt}$ von $f$ . Fouriers Ansatz war dabei, dass die Funktion $f$ durch ihre Fourierreihe dargestellt wird. Wie relativ einfach zu sehen ist, stimmt dies für trigonometrische Polynome der Form $g(t)=\sum_{|k|\le n} c_k e^{ikt}$ , wobei $n\in\mathbb{N}$ fest ist, weil hier $\widehat{g}(k)=c_k$ für $|k|\le n$ und $\widehat{g}(k)=0$ für $|k|>n$ gilt. Im allgemeinen Fall fragt man etwa nach Konvergenz von $\sum_{|k|\le n} \widehat{f}(k) e^{ikt}$ für $n\to\infty$ gegen $f(t)$ oder danach, wie sich Eigenschaften der Funktion $f$ an ihren Fourierkoeffizienten ablesen lassen und umgekehrt.

Berücksichtigt man $e^{ikt}=\cos(kt)+i\sin(kt)$ , so lässt sich $\sum_{|k|\le n} \widehat{f}(k) e^{ikt}$ etwa für reellwertige Funktionen $f$ schreiben als $\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^n \left( a_k\cos(kt)+ b_k\sin(kt)\right)$ mit $a_k=\frac1{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\cos(kt)\,dt$ und $b_k=\frac1\pi\int_0^{2\pi} f(t)\sin(kt)\,dt$ . Hier sieht man dann direkt, dass diese Summe reellwertig ist. Tatsächlich aber wird die Theorie transparenter, wenn man gleich mit komplexwertigen Funktionen arbeitet.

Die Beschäftigung mit Fourierreihen hat zum einen die Entwicklung der Mathematik im 19. und 20. Jahrhundert wesentlich beeinflusst, zum anderen hat die Theorie vielfältige Anwendungen in der Mathematik aber auch in den Ingenieurwissenschaften gefunden und ist weiterhin aktuell von grosser Bedeutung. Fundamental ist dabei häufig, dass etwa Ableiten der Funktion $f$ für die Fourierkoeffizienten $\widehat{f}(k)$ eine Multiplikation mit $ik$ bdeutet.

In diesem Proseminar beschäftigen wir uns mit grundlegenden Eigenschaften von Fourierreihen, Fragen nach der Konvergenz und einigen einfachen Anwendungen in Analysis, Geometrie und Zahlentheorie.

Voraussetzungen sind dabei die ersten beiden Semester Analysis und Lineare Algebra. Die auftretenden Integrale sind im Riemannschen Sinn zu verstehen. Bemerkenswert ist z.B., dass Riemann seinen Integralbegriff im Rahmen der Untersuchung von Fourierreihen vorstellte und dass auch das mathematisch befriedigendere Lebesgue-Integral damals unmittelbar Anwendung in der Theorie der Fourierreihen gefunden hat.

Termine
Proseminar:	Montag 14:00-15:30	20.30 SR 2.066

Lehrende
Seminarleitung	apl. Prof. Dr. Peer Christian Kunstmann
	Sprechstunde: Donnerstag, 13 - 14 Uhr
	Zimmer 2.027 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: peer.kunstmann@kit.edu
Seminarleitung	M. Sc. Alexander Wittenstein
	Sprechstunde: Nach Vereinbarung
	Zimmer 2.026 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: alexander.wittenstein@kit.edu

Literaturhinweise

E. Stein & R. Shakarchi, Fourieranalysis, Princeton University Press, 2003
Y. Katznelson, An introduction to Harmonic Analysis, Wiley & Sons, New York, 1968
T.W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988
W. Rudin, Analysis, Oldenbourd Verlag, 2009
A. Torchinsky, Real-variable methods in Harmonic Analysis, Academic Press, Orlando, 1986