Seminar über Variationsrechnung (Wintersemester 2009/10)
- Dozent*in: Dr. Matthias Kurzke
- Veranstaltungen: Seminar (1247)
- Semesterwochenstunden: 2
Die Variationsrechnung ist ein klassisches Gebiet der Analysis, das sich mit Problemen der Optimierung beschäftigt. Im Gegensatz zu den aus der Analysis 1 und 2 bekannten Maximierungs- und Minimierungsproblem wird nicht eine optimale Zahl oder ein optimaler Vektor, sondern eine optimale Funktion oder eine optimale Kurve gesucht. Die bekannte Bedingung an einem Minimum ist die Ableitung gleich Null führt statt auf eine Gleichung in oder
auf eine gewöhnliche Differentialgleichung, also eine Gleichung für Funktionen.
Durch das Hamiltonsche Prinzip kann die klassische Mechanik als ein Variationsproblem aufgefasst werden kann und liefert eine große Menge an interessanten Beispielen und nützlicher Intuition. Andere Beispiele kommen aus der Geometrie, beispielsweise kürzeste Verbindungen oder Flächen kleinsten Inhalts.
Zu Beginn des Seminars werden wir die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen herleiten und an einigen Beispielen lösen. In der zweiten Hälfte werden wir dann untersuchen, wie man bestimmen kann, ob die Lösungen dieser Gleichung tatsächlich Minima oder Maxima liefern.
Vorausgesetzte Vorkenntnisse sind die Existenztheorie und elementare Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen aus den Grundvorlesungen zur Analysis 1 & 2. Kenntnisse aus der Funktionalanalysis oder mehrdimensionale Integrationstheorie werden nicht benötigt.
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| Seminar: | Donnerstag 15:45-17:15 | Seminarraum 33 |
Literaturhinweise
- Ursula Brechtken-Manderscheid: Einführung in die Variationsrechnung. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1983.
- Giuseppe Buttazzo, Mariano Giaquinta und Stefan Hildebrandt: One-dimensional Variational Problems. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 15. Clarendon Press, Oxford 1998.
- Mariano Giaquinta und Stefan Hildebrandt: Calculus of Variations I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Bd. 310. Springer, Berlin 1996. (2. Aufl. 2004).
- Stefan Hildebrandt: Analysis 2. Springer, Berlin 2003.
- Jürgen Jost und Xianqing Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.