Mathematisches Institut I

Lehrstuhl Prof. Dr. G. Schneider

Dr. Andreas Melcher

Ab 01.07.2010 finden Sie mich hier!!!!

Arbeitsgebiet

Untersuchung der Dynamik und Bifurkationsverhalten von Reaktion-Diffusion-Konvektions-Gleichungen und Navier-Stokes-Gleichungen.

Genaue Beschreibung DFG-Projekt Schn 520/4-1/2

Meine Dissertation:

A Hopf bifurcation theorem for the vorticity formulation of the Navier-Stokes equations in three space dimensions

Abstract

We prove a Hopf bifurcation theorem for the vorticity formulation of the Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3$
in case of spatially localized external forcing. The difficulties are due to the essential spectrum up to the
imaginary axis for all values of the bifurcation parameter which a priori no longer allows to reduce the
problem to a finite dimensional one.
Furthermore we show the nonlinear stability of the trivial solution and the exchange of spectral stability
of the bifurcating time periodic solutions.

Elektronische Form meiner Dissertation

Meine Diplomarbeit:

Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Kurzbeschreibung

Ein gebräuchlicher Weg zur Bestimmung der Lyapunov-Exponenten bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ist die Anwendung des QR-Verfahren auf die zugehörige Variationsgleichung. Der entscheidende Nachteil des Verfahrens ist es, daß bei der numerischen Lösung der Differentialgleichung für die orthogonale Matrix Q sehr schnell die Orthogonalität verloren geht und sich die Spalten dieser Matrix fast parallel ausrichten. Dies macht eine regelmäßige Reorthogonalisierung der Matrix Q nach dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalierungsverfahren notwendig oder die Anwendung spezieller numerischer Integratoren, die die Orthogonalität der Matrix Q erhalten.
In dieser Arbeit werden neuere Verfahren zur Bestimmung der Lyapunov-Exponenten untersucht. Im einzelnen sind dies eine differentielle Form des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungverfahren und Verfahren bei denen die Orthogonalität der Matrix Q automatisch erhalten bleibt. Insbesondere wird das QR-Verfahren unter Anwendung von Givens-Rotationsmatrizen betrachtet.Weitere Verfahren nutzen die Tatsache aus, daß die Matrix-Exponentialfunktion oder die Cayley-Transformation einer schiefsymmetrischen Matrix eine orthogonale Matrix ist. Der größte Nachteil der letzt genannten Verfahren gegenüber der differentiellen Form des Gram-Schmidt'schen Verfahren ist, daß aufgrund der komplizierten Struktur der entstehenden Differentialgleichungen zur Zeit die Anwendung auf Raumdimensionen kleiner gleich vier beschränkt bleibt. Weiter kann das Verfahren das auf der Cayley-Transformation beruht zu einem schlecht gestellten Problem entarten, was seine Anwendung dann nicht mehr praktikabel macht.
Die oben beschriebenen Verfahren werden in zwei und drei Raumdimensionen an Beispielen wie die lineare Schwingungsgleichung, van-der Pol-Gleichung und der Duffing-Gleichung in Raumdimension 2, sowie der Lorenz- und Rössler-Gleichung im Dreidimensionalen untersucht.
Die numerische Untersuchung fand mit Matlab statt.

Die PDF-Version meiner Diplomarbeit finden Sie hier (ca. 8 MB)!