Rand- und Eigenwertprobleme (Sommersemester 2006)
- Dozent*in: Prof. Dr. Michael Plum
- Veranstaltungen: Vorlesung (1578), Übung (1579)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik
Achtung! Die Vorlesung beginnt erst am Mittwoch, 26.4.2006!
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| Vorlesung: | Montag 15:45-17:15 | Seminarraum 11 |
| Mittwoch 11:30-13:00 | Seminarraum 34 | |
| Übung: | Freitag 8:00-9:30 | Seminarraum 12 |
| Lehrende | ||
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| Dozent | Prof. Dr. Michael Plum | |
| Sprechstunde: Kontakt via E-Mail. | ||
| Zimmer 3.028 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: michael.plum@kit.edu | ||
Ein Randwertproblem besteht aus einer elliptischen (oder gewöhnlichen) Differentialgleichung auf einem Gebiet, zusammen mit Zusatzbedingungen, die auf dem Rand des Gebietes gestellt werden, beispielsweise vorgeschriebene Werte für die unbekannte Funktion. Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung werden diese Randbedingungen an beiden Enden des zugrundeliegenden Intervalls gestellt (im Gegensatz zu Anfangsbedingungen). Randwertprobleme treten typischerweise bei stationären (d.h. zeitunabhängigen) Zuständen physikalischer Systeme auf.
Ein Eigenwertproblem für eine Differentialgleichung ist ein lineares homogenes Randwertproblem, welches (typischerweise linear) von einem zusätzlichen Parameter abhängt, und man interessiert sich für solche Parameterwerte, die nichttriviale Lösungen des Randwertproblems zulassen. Eigenwertprobleme entstehen z. B. nach Variablentrennung bei zeitabhängigen Problemen und beschreiben daher viele Schwingungssysteme (einschließlich Quantenmechanik).
Die Vorlesung beginnt mit einer Reihe von Beispielen von Randwertproblemen, die in der mathematischen Physik auftreten. Anschließend wird die (vergleichsweise einfache) Existenztheorie für gewöhnliche lineare reguläre Randwertprobleme behandelt. Einen großen Teil der Vorlesung nimmt die Existenztheorie für lineare elliptische Randwertprobleme ein. Hierzu werden die schwache Formulierung von Randwertproblemen, Sobolev-Räume, Spursätze, das Lax-Milgram-Lemma, die Gardingsche Ungleichung, die Fredholmsche Alternative und andere Hilfsmittel benutzt. Diese Theorie stellt natürliche Verbindungen zu Eigenwertproblemen her. Aufbauend auf dem Spektralsatz für kompakte symmetrische Operatoren in Hilberträumen und auf der Existenztheorie für lineare Randwertprobleme wird eine Eigenwerttheorie für symmetrische elliptische Differentialoperatoren behandelt. Falls die Zeit es zulässt, schließt die Vorlesung mit einem kurzen Abriß einiger numerischer Methoden für Rand- und Eigenwertprobleme (Galerkin, Finite Elemente).
Die Vorlesung ist geeignet für Studenten im 4. oder höheren Semester mit fundierten Kenntnissen in Analysis und Linearer Algebra. Sie ist gedacht für Studierende der Mathematik und für Studenten anderer Fachrichtungen mit starken mathematischen Interessen.
Die Vorlesung wird von Übungen begleitet. Teilnahme an diesen Übungen wird allen Teilnehmern dringend empfohlen.
Literatur:
A. Friedman: Partial Differential Equations
(allgemeine elliptische Differentialgleichungen der Ordnung 2m, aber nur mit glatten Daten)
D. Gilbarg, N. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order
(elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, hauptsächlich Dirichlet-Randbedingungen)
L. C. Evans: Partial Differential Equations
R. A. Adams: Sobolev Spaces
(keine Differentialgleichungen, aber exzellente und allgemeine Einführung in Sobolev-Räume, die ein wesentliches Werkzeug in der Theorie der Differentialgleichungen bilden)