Variationsmethoden (Wintersemester 2019/20)
- Dozent*in: Prof. Dr. Wolfgang Reichel
- Veranstaltungen: Vorlesung (0105450), Übung (0105460)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik, Physik, Ingenieur- und Naturwissenschaften
Mündliche Prüfungen wieder möglich
Ab dem 20.04.2020 wird es zulässig sein, mündliche Prüfungen durchzuführen, bei denen nicht mehr als fünf Personen anwesend sind und bei denen die Abstandsregel von 1,5m eingehalten wird.
Für einen konkreten Termin wenden Sie sich bitte an: marion.ewald@kit.edu
KIT Information zum Studienbetrieb
Terminänderung
Die Vorlesung am 27.01.2020 und Übung am 24.01.2020 werden getauscht, d.h.:
Am 24.01.2020 in -1.012: Vorlesung
Am 27.01.2020 in 3.061: Übung
Kurzbeschreibung
Gegenstand der Variationsrechnung ist die Lösung von Minimierungs- bzw. Maximierungsaufgaben. Dabei wird ein Funktional wie z.B. Weglänge, Energie, Zeit, Reibungswiderstand, Oberfläche innerhalb einer vorgegebenen Klasse von Konkurrenzfunktionen minimiert oder maximiert.
Teil 1 der Vorlesung behandelt eindimensionale Variationsprobleme, bei denen die Problemstellung nur von Funktionen einer Veränderlichen abhängt. Behandelt werden notwendige und hinreichende Bedingungen für Maximierer/Minimierer bzw. allgemeiner für Extremalstellen. Die Maximierer/Minimierer/Extremalstellen von Variationsproblemen lösen oftmals eine Differentialgleichung -- die Euler-Lagrange Gleichung.
Zusammenfassungen zu Teil 1:
Notwendige Bedingungen
Hinreichende Bedingungen
Teil 2 der Vorlesung behandelt mehrdimensionale Variationsprobleme. Hier werden Methoden vorgestellt, die die Existenz von Extremalstellen garantieren. Auch hier wird die zugehörigen Euler-Lagrange Gleichung diskutiert.
Voraussetzungen
Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränderlicher, Grundkenntnisse in Funktionalanalysis
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | SR 3.61 | Beginn: 14.10.2019 |
| Dienstag 8:00-9:30 | SR -1.025 (UG) | ||
| Übung: | Freitag 9:45-11:15 | SR -1.012 (UG) | Beginn: 25.10.2019 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Wolfgang Reichel | |
| Sprechstunde: Montag, 11:30-13:00 bevor Sie mailen:anrufen/vorbeikommen | ||
| Zimmer 3.035 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: Wolfgang.Reichel@kit.edu | Übungsleiter | M.Sc. Simon Kohler |
| Sprechstunde: Direkt vorbeikommen/anrufen. Erst danach mailen. | ||
| Zimmer 3.038 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: simon.kohler@kit.edu | ||
Inhalt
1. Variationsrechnung für Funktionen einer Veränderlichen:
(i) Funktionale, Beispiele
(ii) Notwendige Bedingungen für Extrema, erste Variation
(iii) Euler-Lagrange Gleichungen
(iv) Hinreichende Bedingungen für Extrema, zweite Variation
2. Variationsrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher:
(i) schwache Konvergenz, Unterhalbstetigkeit
(ii) erste Variation, Gateaux- und Fréchet-Differenzierbarkeit
(iii) direkte Methoden, Lagrange-Multiplikatoren
(iv) Sattelpunkte, Mountain-Pass Lemma
Übungen
Jede Woche erscheint ein Übungsblatt, das Sie hier finden. In der Übungsstunde der darauffolgenden Woche werden die Aufgaben dieses Blattes besprochen.
01. Übungsblatt
02. Übungsblatt Lösungsvorschlag ÜB02 (Beachten Sie: Korrektur in A4 b) )
03. Übungsblatt Lösungsvorschlag ÜB03
04. Übungsblatt
05. Übungsblatt
06. Übungsblatt (Beachten Sie: Korrektur in A17)
07. Übungsblatt (Beachten Sie: Korrektur in A19)
08. Übungsblatt (Beachten Sie: Korrektur in A21)
09. Übungsblatt (Beachten Sie: Korrekturen in A23 und A25)
10. Übungsblatt Lösungsvorschlag ÜB10 A29 b), c)
11. Übungsblatt
12. Übungsblatt
13. Übungsblatt Lösungsvorschlag ÜB13 A36 b) (Beachten Sie: Korrektur in A36b))
14. Übungsblatt
Literaturhinweise
Giaquinta, Hildebrandt: Calculus of Variations I, Springer 1996
Struwe: Variational Methods, Springer 1998
Brechtken-Manderscheid: Einführung in die Variationsrechnung, wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1983