Analytische Lösungen für nichtlinear schwingende Fachwerke in der Mechanik (Sommersemester 2011)
- Dozent*in: Prof. i. R. Dr.-Ing. Ernst Adams
- Veranstaltungen: Vorlesung (0158100)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Interessierte
I) Motivation
Sie haben sich vielleicht schon gefragt, welche Rolle die Mathematik bei praktischen Ingenieurberechnungen spielt. Dieser Zusammenhang wird in den üblichen Vor-lesungen der Fakultäten nicht deutlich und verschwindet heute mehr und mehr im Hinblick auf die Fülle verfügbarer Softwarepakete; deren Anwendung auf übliche Konstruktionen im Bau- und Maschinenwesen ist erfahrungsgemäß zuverlässig. Das ist aber nicht notwendig der Fall bei (a) neuartigen Konstruktionen und/oder (b) bei wesentlich nichtlinearem Verhalten. Die letztere Eigenschaft kann bei Verwendung üblicher Verfahren verborgen bleiben.
In der Vorlesung wird beispielhaft ein Bereich der Technik mit den Eigenschaften (a) und (b) behandelt, nämlich Netzwerke bestehend aus Balken und Seilen mit konti-nuumsmechanischer Simulation elastodynamischer und/oder elastostatischer Verformungen und Kräfte. Zwar sind die einzelnen partiellen DGl schwingender Balken und Seile in der auch hier verwendeten üblichen Modellierung linear, aber ihre Kopplung im Gesamtsystem ist i.a. nichtlinear. Computeranwendungen auf lineare oder nichtlineare Systeme liefern Zahlentupel, die i.a. aber die Datenab-hängigkeit nicht oder nur kaum erkennen lassen. Daher kann der Einschub nicht-numerischer Methoden zwischen dem Modell und der Computeranwendung nützlich sein, und zwar bei dem in der Vorlesung behandelten Bereich wegen der dadurch erhaltenen Reduktion auf allein die Berechnung der Koeffizienten explizit bekannter Funktionen von Ort und Zeit, sowie zusätzlich von Eigenwerten. Die damit erreich-bare Bestimmung von Verformungen und Kräften ist physikalisch und mathematisch zuverlässiger als mittels üblicher Verfahren, z.B. FEM. Dazu ist allerdings eine neue und erst teilweise verfügbare Software zu entwickeln.
Prinzipiell ist die Anwendbarkeit der in diesem Sinn in der Vorlesung vorgestellten Simulationen und Verfahren auf das Problem des windinduzierten Zusammen-bruches der Tacoma-Brücke (am 7.11.1940) möglich. Dabei handelte es sich um eine der großen Technikkatastrophen, s. dazu auch Google-Suche unter "Tacoma Bridge".
II) Inhalt
a) Ingenieuranwendungen der Mathematik beruhen auf physikalischen Simulations-annahmen. Das zugehörige mathematische Modell sollte dazu exakt aufgestellt werden, d. h. ohne ad hoc Vereinfachungen der Überleitung auf (dann nur noch) Näherungsverfahren bzgl. des Modells.
b) Durch geeignete Umformungen sollte ein äquivalentes Modell hergeleitet werden, bei dem nicht mehr partielle DGL, sondern gewöhnliche Gleichungssysteme zu lösen sind.
c) Realistische Simulationen sind i. a. nichtlinear und sie beziehen sich oft auf Netz-werke geometrischer Größen (hier Balken und Seile) oder physikalischer Größen (z.B. physikalischer Wellen). Dann treten Wechselwirkungen auf, und die Lösungen sind iterativ zu bestimmten; ihre (numerische Konvergenz hängt von der Auffindung einer geeigneten, exakt bekannten Startlösung ab.
d) Die Bestimmung eines solchen Startes kann unter Verwendung einer geeigneten Homotopie geschehen, z. B. dem Start mit wenigen Frequenzen, deren Anzahl dann schrittweise vergrößert wird, oder dem Start zu geeignet vergrößerten Steifigkeiten des Systems, die dann schrittweise verkleinert werden.
Bei der Behandlung der beschriebenen Aufgabenstellung a) - d) ergibt sich eine einheitliche nichtlineare Behandlung elastodynamischer und elastostatischer Netz-werke im Raum der komplexwertigen e-Funktionen und Polynome 3. Grades mit darin physikalisch motivierten Basisfunktionen, deren Überlagerung im elastodyna-mischen Fall auf verallgemeinerte Fourier-Reihen führt. Dabei treten nichtlineare Systeme für die Kopplungskoeffizienten in den Räumen RN oder CN mit Behandlung jeweils durch Homotopie und Iteration auf. Computerprogramme und numerische Lösungen sind für kontinuumsdynamische Anwendungen auf schwingende Zahnrad-getriebe und schwingende Rahmen entwickelt worden. Durch solche Lösungen und insbesondere durch Inspektion der zugehörigen Gleichungssysteme haben sich viele Folgerungen zur Struktur der nichtlinearen Elastodynamik und Elastostatik ergeben. Es können Themen für Diplom- oder Masterarbeiten vergeben werden.
| Termine | ||
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| Vorlesung: | Donnerstag 8:00-9:30 | Z 2 |
| Lehrende | ||
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| Dozent | Prof. i. R. Dr.-Ing. Ernst Adams | |
| Sprechstunde: Bitte wenden Sie sich an das Sekretariat! | ||
| Zimmer 3A-26.1 Allianz-Gebäude (05.20) | ||
| Email: | ||