Fourierreihen und Fouriertransformation (Wintersemester 2014/15)
- Dozent*in: Prof. Dr. Michael Plum
- Veranstaltungen: Seminar (0120800)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik Lehramt (ab 2. Semester)
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| Seminar: | Dienstag 17:30-19:00 | |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Michael Plum | |
| Sprechstunde: Kontakt via E-Mail. | ||
| Zimmer 3.028 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: michael.plum@kit.edu | Seminarleitung | Dr. Peter Rupp |
| Sprechstunde: montags 14:00-15:00Uhr oder nach Vereinbahrung | ||
| Zimmer 3.026 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: peter.rupp@kit.edu | ||
Motiviert durch die im ersten Semester vorgestellte Approximation von "sehr glatten" Funktionen durch eine Taylorreihe sucht man nach einer Möglichkeit, periodische Funktionen durch trigonometrische Polynome der Form anzunähern. Eine so entstehende Reihe nennt man Fourierreihe, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier. Der physikalische Hintergrund hat seinen Ursprung in der Mitte des 18. Jahrhunderts bei der Beschreibung von Schwingungsphänomenen, indem Lösungen als Überlagerung von Grundschwingungen dargestellt werden sollten, und später bei der Untersuchung von Wärmerleitungsproblemen. Die natürlichen Fragen nach Eindeutigkeit und Konvergenz der Fourierreihe sind hier komplexer und interessanter als im Fall von Taylorreihen und sollen Gegenstand des ersten Teils des Proseminars sein. In der zweiten Hälfte befassen wir uns mit der Fouriertransformation von Funktionen, die nicht periodisch sind und auf der ganzen reellen Achse definiert sind. Die Anforderungen an die Funktionen, für die die Fouriertransformation definiert werden kann, sollen dabei so allgemein wie (in diesem Rahmen) möglich gehalten werden. Das Ziel ist der Satz von Plancherel, der gewisse Isomorphie-Eigenschaften der Fouriertransformation auf dem Raum
der quadratintegrierbaren Funktionen liefert. Aufgrund der nützlichen Transformationseigenschaften von Faltungsprodukten und Ableitungen finden sich viele Anwendungen unter anderem bei der analytischen und numerischen Untersuchung von Differentialgleichungen.
Die Vorbesprechung findet am (am Ende des Ganges) statt.
Literaturhinweise
Elias M. Stein & Rami Shakarchi: Fourier Analysis - An introduction
Evans - Partial Differential Equations
Walter - Analysis 2