Numerische Fortsetzungsmethoden (Wintersemester 2014/15)
- Dozent*in: JProf. Dr. Jens Rottmann-Matthes
- Veranstaltungen: Vorlesung (0105400), Übung (0105500)
- Semesterwochenstunden: 2+2
Viele mathematische Probleme in den Anwendungen lassen sich als Nullstellenprobleme formulieren. Typische Beispiele sind das Bestimmen stationärer Zustände gewöhnlicher Differentialgleichungen oder die Lösung von Randwertproblemen.
In dieser Vorlesung soll es nun darum gehen, die Nullstellenmenge nichtlinearer Gleichungssysteme, die zusätzlich von einem oder mehreren Parametern abhängen zu bestimmen. Die Nullstellenmenge solcher Systeme besteht dann typischerweise nicht mehr aus einzelnen isolierten Punkten, sondern aus ganzen Lösungskurven (oder Mannigfaltigkeiten). Entlang dieser Lösungskurven treten typischerweise sogenannte Verzweigungspunkte auf an denen sich zum Beispiel die Zahl der Lösungen lokal ändert.
Wenn es sich bei der Nullstellenmenge um stationäre Zustände gewöhnlicher (oder auch partieller) zeitabhängiger Differentialgleichungen handelt, so kann es entlang einer Lösungskurve auch zu einer Änderung des qualitativen Verhaltens kommen, z. B. ein stabiles Gleichgewicht wird instabil, ein stationärer Punkt wird zu einem periodischen Orbit,...
Wir werden in der Vorlesung Verfahren kennen lernen, mit denen sich die Nullstellenmenge numerisch approximieren lässt. Außerdem werden wir untersuchen, wie man Verzweigungspunkte detektieren kann und gegebenenfalls einen Zweigwechsel durchführt.
In den Übungen sollen die Verfahren selbst (in Matlab) implementiert und ausprobiert werden. Die Algorithmen sind in Softwarepaketen wie auto oder MatCont implementiert.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 15:45-17:15 | SR 3.68 |
| Dienstag 15:45-17:15 | Z 1 | |
| Übung: | Donnerstag 15:45-17:15 | Z 1 |
| Donnerstag 15:45-17:15 | SR 3.68 | |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | JProf. Dr. Jens Rottmann-Matthes | |
| Sprechstunde: Keine mehr | ||
| Zimmer - Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: marion.ewald@kit.edu | Übungsleiter | M.Sc. Robin Braun (Stipendiat) |
| Sprechstunde: Montags, 14:30 - 15:30 Uhr und nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 3.031 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: Robin.Flohr@kit.edu | ||
Übungsblätter
| Übungsblatt 1 |
| Übungsblatt 2 |
| Übungsblatt 3 |
| Übungsblatt 4 |
| Übungsblatt 5 |
| Übungsblatt 6 |
| Übungsblatt 7 |
| Übungsblatt 8 |
| Übungsblatt 9 |
Prüfung
Die Prüfungen werden als mündliche Prüfungen in den Semesterferien nach der Vorlesung stattfinden.
Literaturhinweise
- E. L. Allgower, K. Georg, Numerical Continuation Methods - An Introduction, Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 13, 1990
- W.-J. Beyn, A. Champneys, E. Doedel, W. J. F. Govaerts, Yu. A. Kuznetsov, B. Sandstede, Numerical continuation, and computation of normal forms, Handbook of Dynamical Systems Vol. 2, 2002
- W. J. F. Govaerts, Numerical Methods for Bifurcations of Dynamical Equilibria, SIAM, 2000
- H. B. Keller, Numerical methods in bifurcation problems, Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics 79, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987
Software
- auto-07p: http://sourceforge.net/projects/auto-07p
- MatCont, CL_MatCont: http://sourceforge.net/projects/matcont