Proseminar Iterationverfahren

Proseminar Analysis -- Iterationsverfahren

Dieses Proseminar richtet sich an Studierende der Mathematik im 2. Semester mit Interesse an analytischen Themen.

Mit Iterationsverfahren bezeichnet man eine Vorschrift, die es erlaubt, eine Folge von Zahlen, Vektoren oder Funktionen $(x_n)_{n\in I\!\!N}$ zu erzeugen. Meistens wird dabei $x_{n+1}$ aus der Kenntnis von $x_n$ durch eine konkrete Vorschrift gewonnen. Hat man ein Iterationsverfahren der Form

$x_{n+1} = F(x_n),$

so ist man daran interessiert, ob und unter welchen Bedingungen die Folge $(x_n)_{n\in I\!\!N}$ konvergiert. Beispiele von Iterationsverfahren sind:

Heronverfahren zur Berechnung von $\sqrt{2}$
Newtonverfahren, Sekantenverfahren zur Berechnung von Nullstellen von Funktionen
Banachscher Fixpunktsatz (Berechnung von Fixpunkten)
Gesamtschrittverfahren, Einzelschrittverfahren, Gauss-Seidel Verfahren zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems
Wieldandt- und von-Mises Iteration zur Berechnung von Eigenwerten, Eigenfunktionen von Matrizen
Picard-Iteration zur Lösung von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Viele dieser Verfahren kommen entweder beim Beweis der Existenz von Lösungen von Gleichungen zum Einsatz oder bei der Bestimmung von Approximationen an solche Lösungen. Oftmals können sie mit geringem Aufwand in einer Progammiersprache implementiert werden.

Im Proseminar beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften dieser Verfahren. Bei Interesse können diese Verfahren von den Vortragenden gerne auch implementiert werden -- dies ist aber nicht verpflichtend.

Termin: Freitags, 9:45--11:15 im Raum 3.068

Vorkenntnisse: Analysis 1, Lineare Algebra 1

Teilnahmebedingungen:

regelmäßige Teilnahme an den Sitzungen des Proseminars
eigenständiger Vortrag mit 1-2 seitiger Kurzzusammenfassung
Kontakt zur Betreuerin/zum Betreuer spätestens 4 Wochen vor dem Vortrag