KIT - Fakultät für Mathematik - Evolutionsgleichungen (Wintersemester 2016/17)

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Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Evolutionsgleichungen

Evolutionsgleichungen

Evolutionsgleichungen (Wintersemester 2016/17)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Vorlesung (0105900), Übung (0106000)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Master Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik

Termine
Vorlesung:	Dienstag 9:45-11:15	SR 2.66	Beginn: 18.10.2016
	Freitag 9:45-11:15	SR 2.66
Übung:	Freitag 14:00-15:30	SR 2.66	Beginn: 21.10.2016

Lehrende
Dozent	Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
	Sprechstunde:
	Zimmer 2.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter	Dr. Fabian Hornung
	Sprechstunde: nach Vereinbarung
	Zimmer 2-048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: fabian.hornung@kit.edu

Evaluationsbericht

Die Ergebnisse der Evaluation der Übung vom 16.12.16 können Sie unter Evaluation einsehen.

Hinweise

Auf dem dritten Übungsblatt, Aufgabe 5 b) wurde ein Tippfehler korrigiert.
Auf dem 6. Übungsblatt gibt es folgende Änderungen: In Aufgabe 13 a) wird nun vorausgesetzt, dass $X$ ein Hilbertraum ist. Mit Blick auf Aufgabe 12 muss $A$ dafür nicht dicht definiert sein. In Aufgabe 15 beschränken wir uns nun auf den Fall beschränkter Gruppen. Für den allgemeinen Fall verweisen wir auf

R. Nagel: One-Parameter Semigroups of Positive Operators, Springer, 1986.

Zum Inhalt

Sei $A$ ein abgeschlossener linearer Operator auf einem Banachraum $X$ . Das Cauchyproblem

$(1)~~~~~y'(t)=Ay(t),~~~~~~~y(0)=y_0,$

hat genau dann eine klassische Lösung für alle $y_0$ aus dem (dichten) Definitionsbereich von $A$ , falls $A$ eine Halbgruppe $T(t)$ erzeugt, d.h. eine Exponentialfunktion $T(t)=e^{tA},~t\geq 0,$ von beschränkten Operatoren auf $X$ mit den Eigenschaften

$T(0)= Id,$
$T(t+s)=T(t)T(s)$ für $t,s\geq0,$
$T(t)x\rightarrow x$ für $t\to 0$ und $x\in X$ .

Zunächst werden wir untersuchen, welche Operatoren $A$ eine Halbgruppe erzeugen. Mit Hilfe der Halbgruppe $T(t)$ werden anschließend Regularitätseigenschaften der linearen Gleichung (1) untersucht. Wir betrachten sowohl parabolische Evolutionsgleichungen (1), die die Wärmeleitungsgleichung verallgemeinern, als auch hyperbolische Gleichungen, zu denen die Schrödingergleichung und die Wellengleichung gehören.

Mit Hilfe dieser Regularitätsabschätzungen lassen sich nichtlineare Gleichungen

$y'(t)=Ay(t)+N(y(t)),~~~~~~~y(0)=y_0,$

auf ein Fixpunktproblem

$y(t)=T(t)y_0+\int_0^tT(t-s)N(y(s))ds$

zurückführen.

Übungsblätter

1. Übungsblatt	zu Aufgabe 2
2. Übungsblatt	zu Aufgabe 3
3. Übungsblatt
4. Übungsblatt	zu Aufgabe 9c
5. Übungsblatt	zu Aufgabe 10b
6. Übungsblatt
7. Übungsblatt
8. Übungsblatt
9. Übungsblatt
10. Übungsblatt	zu Aufgabe 24 und 25c)
11. Übungsblatt
12. Übungsblatt		Ergänzung
13. Übungsblatt
14. Übungsblatt

Voraussetzungen

Funktionalanalysis und Spektraltheorie

Literatur

K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000
A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1983