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Institutes

Institute for Analysis

Workgroup Functional Analysis

Fourieranalysis

Fourieranalysis

Fourieranalysis (Summer Semester 2009)

Lecturer: Prof. Dr. Lutz Weis
Classes: Lecture (1570), Problem class (1571)
Weekly hours: 4+2

Schedule
Lecture:	Tuesday 9:45-11:15	Seminarraum 33
	Friday 9:45-11:15	Seminarraum 33
Problem class:	Monday 15:45-17:15	Seminarraum 34

Lecturers
Lecturer	Prof. Dr. Lutz Weis
	Office hours:
	Room 2.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: lutz.weis@kit.edu
Problem classes	Dr. Christoph Kriegler
	Office hours:
	Room Allianz-Gebäude (05.20)
	Email: christoph.kriegler@kit.edu

Inhaltsangabe

Die Fourieranalysis untersucht die Darstellung von Funktionen als Fourierreihen

$f(x)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}a(n)e^{-inx} ~,~x\in [0,2\pi ]$

bzw. als Fourierintegrale

$f(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}e^{-ixy}a(y)~dy.$

In Physik und Technik wird dies als eine Darstellung von $f$ durch "Überlagerung" von Wellen $x\rightarrow a(y) e^{iyx}$ mit Frequenz $y$ und Amplitude $a(y)$ interpretiert und ist deshalb eine grundlegende Methode. In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Spektraltheorie wird die Fouriertransformation $a(\cdot )\rightarrow f(\cdot )$ oft benutzt um Differentialgleichungen auf einfachere algebraische Gleichungen zurück zu führen, da $\frac{d}{dx_j}a(y)$ auf $ix_j f(x)$ abgebildet wird, d. h. Differentialoperatoren werden unter der Fouriertransformation zu Multiplikationsoperatoren.

In der Vorlesung werden die grundlegenden Eigenschaften und Abschätzungen der Fouriertransformation und ihre Anwendung auf partielle Differentialgleichungen und singuläre Integraloperationen untersucht. Dabei behandeln wir auch Funktionen $f: \mathbb{R}^n\rightarrow X$ mit Werten in einem Banachraum $X$ (der meistens ein Hilbertraum ist).

Die Fouriertransformation Banachraum wertiger Funktionen wird z. B. in der Theorie der Evolutionsgleichungen benötigt, in der partielle Differentialgleichungen skalarer Funktionen als gewöhnliche Differentialgleichungen vektorwertiger Funktionen aufgefasst werden. Am Ende der Vorlesung geben wir einen Ausblick auf die aktuelle Forschung auf diesem Gebiet.

Vorkenntnisse

Vordiplom und Grundkenntnisse über Hilberträume.

Vorlesungsbeginn

Die erste Vorlesung findet am 24.04.2009 statt.

Exercise Sheets

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References

E. Stein und R. Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton Lectures in Analysis.