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Institut für Analysis

Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Fourieranalysis

Fourieranalysis

Fourieranalysis (Sommersemester 2009)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Vorlesung (1570), Übung (1571)
Semesterwochenstunden: 4+2

Termine
Vorlesung:	Dienstag 9:45-11:15	Seminarraum 33
	Freitag 9:45-11:15	Seminarraum 33
Übung:	Montag 15:45-17:15	Seminarraum 34

Lehrende
Dozent	Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
	Sprechstunde:
	Zimmer 2.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter	Dr. Christoph Kriegler
	Sprechstunde:
	Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
	Email: christoph.kriegler@kit.edu

Inhaltsangabe

Die Fourieranalysis untersucht die Darstellung von Funktionen als Fourierreihen

$f(x)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}a(n)e^{-inx} ~,~x\in [0,2\pi ]$

bzw. als Fourierintegrale

$f(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}e^{-ixy}a(y)~dy.$

In Physik und Technik wird dies als eine Darstellung von $f$ durch "Überlagerung" von Wellen $x\rightarrow a(y) e^{iyx}$ mit Frequenz $y$ und Amplitude $a(y)$ interpretiert und ist deshalb eine grundlegende Methode. In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Spektraltheorie wird die Fouriertransformation $a(\cdot )\rightarrow f(\cdot )$ oft benutzt um Differentialgleichungen auf einfachere algebraische Gleichungen zurück zu führen, da $\frac{d}{dx_j}a(y)$ auf $ix_j f(x)$ abgebildet wird, d. h. Differentialoperatoren werden unter der Fouriertransformation zu Multiplikationsoperatoren.

In der Vorlesung werden die grundlegenden Eigenschaften und Abschätzungen der Fouriertransformation und ihre Anwendung auf partielle Differentialgleichungen und singuläre Integraloperationen untersucht. Dabei behandeln wir auch Funktionen $f: \mathbb{R}^n\rightarrow X$ mit Werten in einem Banachraum $X$ (der meistens ein Hilbertraum ist).

Die Fouriertransformation Banachraum wertiger Funktionen wird z. B. in der Theorie der Evolutionsgleichungen benötigt, in der partielle Differentialgleichungen skalarer Funktionen als gewöhnliche Differentialgleichungen vektorwertiger Funktionen aufgefasst werden. Am Ende der Vorlesung geben wir einen Ausblick auf die aktuelle Forschung auf diesem Gebiet.

Vorkenntnisse

Vordiplom und Grundkenntnisse über Hilberträume.

Vorlesungsbeginn

Die erste Vorlesung findet am 24.04.2009 statt.

Übungsblätter

Die Übungsblätter findet man hier in elektronischer Form.
Außerdem liegt eine ausgedruckte Version im 3. Stock des Allianzgebäudes
links neben dem Fahrstuhl aus.

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Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
blatt-12.pdf|Blatt 12
blatt-13.pdf|Blatt 13
blatt-14.pdf|Blatt 14

Literaturhinweise

E. Stein und R. Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton Lectures in Analysis.