Inhalt der Vorlesung:

Die Funktionentheorie ist ein klassisches Gebiet der Mathematik, in dem die Analysis von Funktionen einer reeller Veränderlicher auf die Untersuchung komplexwertiger Funktionen erweitert wird. Dabei ergeben sich überraschende Einsichten: so erweist sich z.B. jede einfach differenzierbare Funktion als beliebig oft differenzierbar und in eine Potenzreihe entwickelbar. Kennt man die Werte der Funktion auf dem Rand eines Kreises, so ist die Funktion im Innern des Kreises bereits vollständig bestimmt etc. Die Funktionentheorie hat wichtige Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften.

Stichworte zum Inhalt:

Körper der komplexen Zahlen,
Riemannsche Zahlenkugel,
Möbiustransformationen,
Wegintegrale,
holomorphe Funktionen,
Satz von Morera und Goursat,
Komplexer Differentialkalkül und Integralsatz von Cauchy,
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen,
Folgen und Reihen holomorpher Funktionen,
Potenzreihen,
ganze Funktionen,
Satz von Liouville,
Mittelwerteigenschaft,
Maximumprinzip,
Laurentreihen,
Residuensatz, Berechnung uneigentlicher reeller Integrale,
Automorphismen des Einheitskreises,
Riemannscher Abbildungssatz,
Analytische Fortsetzung.

Was ist "Funktionentheorie" ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist ein weiterführendes Gebiet der Analysis, welches sich mit Funktionen einer oder mehrerer komplexer Veränderlicher beschäftigt.
Um diese Theorie studieren zu können, müssen zunächst die komplexen Zahlen eingeführt werden. Als komplexe Zahl bezeichnet man die Summe einer reellen und einer imaginären Zahl, z.B. a+ib. Des Weiteren geht es um holomorphe Funktionen, worunter man nach A. Cauchy (1789-1857) komplex differenzierbare Funktionen versteht. Die Cauchysche Funktionentheorie basiert auf seinem berühmten Integralsatz, aus dem auch die Cauchysche Integralformel hergeleitet werden kann. Für K. Weierstraß (1815-1897) ist jede Funktion holomorph, die sich um jeden Punkt ihres Definitionsbereiches in eine konvergente Potenzreihe entwickeln lässt. B. Riemann (1826-1866) brachte den geometrischen Aspekt der Funktionentheorie ein. Obwohl völlig verschieden, sind diese drei Zugänge äquivalent und untrennbar miteinander verbunden. Diese Verflechtung von geometrischen, algebraischen und analytischen Methoden macht die Funktionentheorie so homogen in ihrem Aufbau.

Da die Funktionentheorie auf dem Begriff der komplexen Zahl basiert, sind historisch gesehen die Anfänge der Funktionentheorie mit dem Erschließen der komplexen Zahlen zu verbinden. Der italienische Mathematiker R. Bombelli (1526-1572) rechnete bereits um 1560 systematisch mit komplexen Zahlen. Die heute übliche Bezeichnung i (die imaginäre Einheit) wurde allerdings erst um 1770 von L. Euler (1707-1783) eingeführt. Dieser entdeckte auch den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion. Für lange Zeit war kaum jemand so "richtig glücklich" mit den komplexen Zahlen. Einerseits führte das Rechnen mit ihnen zu richtigen Ergebnissen, andererseits existierten sie nicht in der Anschauung, wie z.B. die reellen Zahlen. G. Leibniz (1646-1716) nannte sie ein "Amphibium zwischen Sein und Nichtsein". Schon der Name imaginäre Zahlen drückt aus, wie die komplexen Zahlen zunächst empfunden wurden. Das Dilemma, dass die komplexen Zahlen keinen Platz auf der reellen Achse haben, wurde im 18. Jahrhundert von C.F. Gauß (1777-1855) und unabhängig auch von J. Argand (1768-1822) durch die Einführung der komplexen Ebene gelöst. Den letzten Schritt, die axiomatische Einführung der komplexen Zahlen, ermöglichte der irische Mathematiker und Physiker W.R. Hamilton (1805-1865).

Den Aufbau der Funktionentheorie begründeten (wie oben erwähnt) Cauchy, Riemann und Weierstraß. Im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts schufen F. Klein (1849-1925) und H. Poincaré (1854-1912) die Theorie der automorphen Funktionen, welche eine Verallgemeinerung der periodischen und elliptischen (doppelt periodischen) Funktionen darstellen. 1907 bewiesen dann P. Koebe (1882-1945) und Poincaré unabhängig voneinander den Uniformisierungssatz. Neue Impulse erhielt die Funktionentheorie mehrer komplexer Variabler um 1950 durch die französischen Mathematiker J. Leray (1906-1998) und H. Cartan (1904- ), welche die Garbentheorie erschufen.

Die Resultate der Funktionentheorie finden in allen Zweigen der Mathematik Anwendungen - Eigenwertprobleme in der Linearen Algebra, Eigenlösungen in Dynamischen Systemen, Beschreibung der Größen in der Differentialgeometrie mit dem komplexen Kalkül, Lösen von elliptischen Problemen in den Partiellen Differentialgleichungen und Beschreibung mehrdimensionaler Flächen (Mannigfaltigkeiten) in der Globalen Analysis. Die Anwendungen sind besonders im Bereich der Physik immens, da komplexe Integrale explizit mit den Methoden der Funktionentheorie berechnet werden können.

Übungsblätter

Lernplattform ILIAS

Weitere Informationen, die Übungsblätter, ergänzendes Material zur Vorlesung und Übung sowie ein Diskussionsforum finden Sie auf der Lernplattform ILIAS, zu der Sie über den folgenden Link gelangen:

https://ilias.rz.uni-karlsruhe.de/

Es wird dringend empfohlen, sich im ILIAS anzumelden, da dort sämtliche relevanten Informationen, z.B. zur Online-Anmeldung, zur Verfügung gestellt werden. Außerdem können über das ILIAS-System auch kurzfristige Terminänderungen per Rundmail bekannt gegeben werden.

Um sich auf der Lernplattform anmelden zu können, benötigen Sie einen RZ-Account. Falls Sie bisher noch nicht im ILIAS-System angemeldet waren, können Sie sich mit Ihrem aktivierten RZ-Account bei ILIAS anmelden. Nach der ersten Anmeldung müssen Sie die Nutzungsbedingungen akzeptieren. Lesen Sie diese bitte genau durch, da ein Verstoß gegen diese zum Ausschluss aus der Lernplattform führen kann. Vervollständigen Sie dann Ihr persönliches Profil. Dort müssen Sie insbesondere Ihre Matrikelnummer korrekt eingeben. Sie können Ihr persönliches Profil auch später jederzeit ändern. Wenn Sie die Anmeldung erfolgreich abgeschlossen haben, können Sie sich auf der Lernplattform umsehen und den von Ihnen besuchten Kursen beitreten. Den Kurs "Funktionentheorie" finden Sie im Magazin unter "Fakultät für Mathematik" - "SS 2011", Sie können diesem direkt beitreten.

Prüfung

Wiederholungsklausur

Die Ergebnisse der Modulprüfung vom 15.03.2012 hängen ab sofort aus am schwarzen Brett im Allianzgebäude, 3. Stock, Gang von Block A.

Die Klausureinsicht findet statt am Mittwoch, den 18.04.2012 von 13:15-14:15 Uhr im Raum 1C-04.

Literaturhinweise

L. Ahlfors: Complex Analysis
W. Fischer: Funktionentheorie
E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie
K. Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie
K. Jänich: Funktionentheorie
R. Remmert, G. Schumacher: Funktionentheorie I, II
W. Rudin: Real and Complex Analysis
J.B. Conway: Funktions of one complex Variable
S. Lang: Complex Analysis