Internetseminar 'Operator Semigroups for Dispersive Equations' (Wintersemester 2012/13)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Vorlesung (0105000)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik (ab 7. Semester)
Diese Lehrveranstaltung ist ein Lektürekurs, der das gleichnamige Internetseminar in Karlsruhe begeleitet. Nähere Informationen zum Internetseminar findet man auf meiner Webseite oder auf der Webseite des Internetseminars. Auf der letzteren kann man sich zum Internetseminar anmelden, das wöchentliche Kursmaterial (samt Übungen) herunterladen und sich an Diskussionsforen beteiligen. Das Material hat in etwa den Umfang einer vierstündigen Vorlesung mit zwei Semesterwochenstunden Übung. Die Inhalte werden (natürlich nicht in allen Details) im wöchentlichem Lektürekurs diskutiert.
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| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Donnerstag 9:45-11:15 | 1C-02 | Beginn: 18.10.2012 |
| Lehrende | ||
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| Dozent | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | ||
Viele Wellenphänomene werden mathematisch durch dispersive Gleichungen beschrieben. Die Wellen- und Schrödingergleichung dabei gehören zu den wichtigsten Beispielklassen; sie sind 'dispersiv' in dem Sinne, das Wellenpaketen auseinanderlaufen. Mathematisch gesehen bedeutet dies eine Verbesserung der Integrabilitätseigenschaften, die die tieferliegenden Resultate zu semilinearen Problemen erst ermöglicht.
Wir behandeln diese Gleichungen im allgemeineren Rahmen der Theorie der Evolutionsgleichungen. Diese beschreiben die zeitliche Entwicklung dynamischer Systeme durch eine gewöhnliche Differentialgleichung in einem Banachraum (bei uns meist ein Hilbertraum). Wir untersuchen zuerst lineare und autonome (zeitinvariante) Probleme. Davon ausgehend betrachten wir dann auch nichtlineare (genauer: semilineare) Gleichungen. Die Lösungen im linearen Fall werden durch eine einparametrige Halbgruppe linearer Operatoren dargestellt. Im semilinearen Fall ist die Lösung durch die Formel der Variation der Konstanten gegeben. Für solche Operatorhalbgruppen gibt es eine recht vollständige Theorie, mit deren Hilfe man die Eigenschaften des zugrunde liegenden dynamischen Systems untersuchen kann. Dieser Zugang beruht wesentlich auf funktionalanalytischen Denkweisen und Resultaten.
Wir befassen uns mit den grundlegenden Existenzsätzen für lineare und semilineare autonome Evolutionsgleichungen. Darauf aufbauend, werden dann qualitative Eigenschaften der Lösungen untersucht (z.B. das Langzeitverhalten). Diese Resultate lassen werden dann etwa auf die lineare und semilineare Wellen- und Schrödingergleichung angewendet. Bei der Behandlung der nichtlinearen Schrödingergleichung benötigen wir aber ein weiteres Instrument: Wir leiten die Strichartzungleichungen her, die den dispersiven Charakter der linearen, freien Schrödingergleichung ausdrücken.
Die Vorlesung setzt die Vorlesung Funktionalanalysis voraus. Grundlagen der Spektraltheorie und der Sobolevräume werden im Kurs kurz wiederholt.
Prüfung
Es kann eine mündliche Prüfung über 8 Leistungspunkten oder 4 Semesterwochestunden über den Stoff des Manuskripts des Internetseminars abgelegt werden.
Literaturhinweise
Neben dem Manuskript des Internetseminars empfehlen wir:
- K.-J. Engel and R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer, 2000.
- A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer, 1983.
- T. Cazenave: Semilinear Schrödinger equations. American Mathematical Society, 2003.
- T. Tao: Nonlinear Dispersive Equations. American Mathematical Society, 2006.