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Institut für Analysis

Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Proseminar Analysis

Proseminar Analysis

Proseminar Analysis: Ergänzungen zur Analysis (Sommersemester 2011)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Proseminar (0170300)

Termine
Proseminar:	Donnerstag 14:00-15:30	1C-04 (Allianz-Gebäuge 05.20)

Lehrende
Seminarleitung	Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
	Sprechstunde:
	Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: lutz.weis@kit.edu
Seminarleitung	Dr. Bernhard Barth
	Sprechstunde: Kommentar: Herr Barth arbeitet nicht mehr im KIT
	Zimmer 201 IWRMM (20.52)
	Email: bernhard.barth@kit.edu
Seminarleitung	Dr. Andreas Bolleyer
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: andreas.bolleyer@kit.edu
Seminarleitung	Dr. Martin Meyries
	Sprechstunde:
	Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
	Email: martin.meyries@mathematik.uni-halle.de

Vorbesprechung

Donnerstag, den 3.2.2011, 13.00 - 14.00 Uhr, Raum 1C-03

Inhalt

In diesem Proseminar werden Themen angesprochen, die entweder den Stoff von Analysis I vertiefen oder Inhalte höherer Vorlesungen vorbereiten. Im allgemeinen sind die Themen unabhängig voneinander; es gibt aber zwei Serien von jeweils 3 oder 4 Vorträgen über diskrete dynamische Systeme und Fourierreihen, die zum Teil aufeinander aufbauen und bei denen eine Zusammenarbeit der Vortragenden von Vorteil wäre.
Es folgen kurze Andeutungen über den Inhalt der Vorträge; mehr Details werden in der Vorbesprechung des Proseminars mitgeteilt.

Vortrag 1: Die Konstruktion der reellen Zahlen

Es wird beschrieben, wie man ein Zahlensystem konstruieren kann, das die Axiome der reellen Zahlen aus Abschnitt 1-2 erfüllt.

Vortrag 2: Die Transzendenz von $\pi$

Für Jahrhunderte war es eine offene Frage, ob die "Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal" möglich ist. Erst 1882 hat Lindemann mit seinem Beweis der Transzendenz von $\pi$ die Frage endgültig beantwortet.

Vortrag 3: Umordnung von Reihen

Es wird gezeigt, daß absolut konvergente Reihen auch nach einer Umordnung noch konvergieren. Durch Umordnung konvergenter, aber nicht absolut konvergenter Reihen kann man eine "beliebige Zahl" als Summenwert erreichen (Riemann'scher Umordnungssatz).

Vortrag 4: Produkt-Darstellung von Potenzreihen und unendliche Produkte

Kann man in Analogie zur Produktdarstellung von Polynomen eine Potenzreihe wie die des Sinus als ein unendliches Produkt

$\sin x = c \prod\limit_{i=1}^\infty (x-x_i)$

schreiben? Dazu muß man die Konvergenz solcher Produkte auf unendliche Reihen zurückführen.

Vortrag 5: Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen

Lange Zeit sind die Mathematiker mit Voraussetzungen wie Differenzierbarkeit und Stetigkeit relativ sorglos umgegangen. Weierstraß hat dann mit extremen Gegenbeispiel das mathematische Gewissen geschärft.

Vortrag 6: Cantor-Mengen und Fraktale

Die schauerlich schönen Eigenschaften der Cantor-Menge und anderer Fraktale wie der Koch-Kurve werden hergeleitet.

Vortrag 7,8: Die Mandelbrot-Menge I, II

Die Mathematik hinter den schönen Bildern

Vortrag 9,10: Konvergenz von Fourierreihen I, II

Es wird gezeigt, wie sich (z.B.) stetige Funktionen auf $[0,2\pi]$ durch die "Überlagerung" von "Wellen mit Amplituden $a_k,b_k$ und Frequenz $k$ " als

$(\text{F})\qquad\qquad f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty \big(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt)\big)$

darstellen lassen.

Vortrag 11,12: Fourierreihen und Differentialgleichungen I, II

Mit (F) als Ansatz für die Lösungsfunktion werden Wellen- und Wärmeleitungsgleichungen gelöst.