Seminar (Analysis) (Sommersemester 2010)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Seminar (1740)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik (ab 6. Semester)
Das Seminar beschäftigt sich mit Vertiefungen der Hilbertraumtheorie und ihren Anwendungen auf Differentialgleichungen. Die Vorbesprechung (und Anmeldung) findet
- am Montag 1.2. um 13:10 Uhr im Seminarraum 1C-01 im Allianzgebäude statt.
Interessenten können beim Veranstalter gerne weitere Informationen erfragen.
Weitere Informationen zu dieser Lehrveranstaltung finden Sie im Studierendenportal unter
der URL https://studium.kit.edu/sites/vab/65336/Start/Homepage.aspx
| Termine | |||
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| Seminar: | Donnerstag 14:00-15:30 | SR 1 | Beginn: 15.4.2010 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Seminarleitung | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | ||
Die Entwicklung der Funktionalanalysis wurde von Anfang an grundlegend von ihren Anwendungen auf Differentialgleichungen mitgeprägt. Umgekehrt beruht die moderne Theorie der Differentialgleichungen wesentlich auf funktionalanalytischen Methoden und Denkweisen. Dieses Wechselspiel läßt sich am einfachsten im Rahmen der Hilbertraumtheorie studieren, die für eine Reihe von Problemen einen sehr eleganten Zugang bietet.
Im Seminar wird zunächst der Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren gezeigt (der die Diagonalisierung hermitescher Matrizen verallgemeinert), mit dem dann Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen untersucht werden können. Ferner führt der Darstellungssatz für Hilbertraumduale auf den Satz von Lax-Milgram, mit dem man Randwertprobleme etwa für den Laplaceoperator behandeln kann. Lösungen solcher Randwertprobleme erhält man auch durch Minima geeigneter (Energie-)Funktionale. Schließlich werden Gleichungen, die die zeitliche Veränderung von (etwa physikalischen) Systemen beschreiben, mittels endlichdimensionaler Approximationen gelöst. Ein typisches Beispiel dafür sind Reaktions-Diffusionsgleichungen. Dieses "Ritz-Galerkin" Verfahren beruht wesentlich auf dem Satz von Banach-Alaoglu und der schwachen Konvergenz.
Das Seminar setzt eine Vorlesung in Funktionalanalysis (inklusive Lebesgueintegral) voraus. Kenntnisse in partiellen Differentialgleichungen sind nicht erforderlich.
Literaturhinweise
- H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer 2006. (Auszüge)
- J.B Conway: A Course in Functional Analysis. Springer 2007. (Abschnitte II.4-6)
- R. Chill, E. Fasangova: Gradient Systems. 13th International Internetseminar. (Auszüge) PDF-Datei der Lecture Notes zum Herunterladen. (Die Grundlagen für diesen Kurs werden recht umfassend in einem Appendix zum Nachschlagen bereitgestellt. PDF Datei des Appendix zum Herunterladen.)