Spectral Theory (Sommersemester 2015)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Vorlesung (0163700), Übung (0163800)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathmatik, Physik (ab 6. Semester)
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | SR 2.66 | Beginn: 13.4.2015 |
| Mittwoch 11:30-13:00 | SR 2.66 | ||
| Übung: | Donnerstag 15:45-17:15 | SR 2.66 | Beginn: 16.4.2015 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Heiko Hoffmann |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: heiko.hoffmann@kit.edu | ||
Das Spektrum eines linearen Operators in einem Banachraum verallgemeinert den Begriff der Eigenwerte von Matrizen. Spektraltheoretische Methoden spielen in Banachräumen eine ähnlich bedeutende Rolle wie die Eigenwertheorie im Endlichdimensionalen, und sie werden demgemäß überall in der Analysis und ihren Anwendungen eingesetzt.
Am Beginn der Vorlesung werden die grundlegenden Eigenschaften des Spektrums diskutiert. Im Hinblick auf die Anwendungen auf Differentialoperatoren erfolgt dies nicht nur für stetige lineare Abbildungen, sondern auch für eine besondere Klasse unstetiger linearer Operatoren, den abgeschlossenen Operatoren. Um Differentialoperatoren auch auf L^p Räumen untersuchen zu können, werden auch schwache Ableitungen im L^p Rahmen und die Sobolevräume eingeführt. Für zwei wichtige Klassen von Operatoren kann man recht weitgehende Aussagen über das Spektrum machen. Wir diskutieren zunächst kompakte Operatoren, bei denen das Spektrum wieder weitgehend durch Eigenwerte bestimmt ist. In diesem Kontext wird auch die sogenannte Fredholmsche Alternative bewiesen, die wesentliche Anwendungen etwa auf Integralgleichungen hat. Anschließend studieren wir (u.U. nur abgeschlossene) selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen. Für diese erlaubt der Spektralsatz eine weitreichende Verallgemeinerung des Diagonalisierungssatzes für hermitesche Matrizen. Schließlich behandeln wir die Funktionalkalküle für selbstadjungierte, beschränkte und sektorielle Operatoren.
Es wird die Kenntnis der Vorlesung Funktionalanalysis oder der Vorlesung Hilberträume und Differentialgleichungen vorausgesetzt.
Prüfung
Die Modulprüfung wird mündlich durchgeführt. Die Termine sind 12.8.15 und 21.9.15.
Literaturhinweise
Auf meiner Homepage findet man die PDF Datei des Skriptums meiner Vorlesung Spectral Theory vom Sommersemester 2010. Eine aktualisierte Fassung wird vermutlich vorlesungsbegleitend erstellt werden. Einige einschlägige Monographien:
- H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer.
- H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer.
- J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer.
- N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley.
- T Kato: Perturbation Theory of Linear Operators. Springer.
- A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley.
- D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.