Spektraltheorie (Sommersemester 2024)
- Dozent*in: Prof. Dr. Dorothee Frey
- Veranstaltungen: Vorlesung (0163700), Übung (0163710)
- Semesterwochenstunden: 4+2
Alle Informationen zur Vorlesung werden auf der Ilias-Seite zur Spektraltheorie bereitgestellt.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | 20.30 SR 3.61 |
| Dienstag 8:00-9:30 | 20.30 SR 2.66 | |
| Übung: | Mittwoch 15:45-17:15 | 20.30 SR 2.66 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozentin | Prof. Dr. Dorothee Frey | |
| Sprechstunde: Dienstag 10.00 Uhr - 11.00 Uhr, und nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: dorothee.frey@kit.edu | Übungsleiter | M. Sc. Yonas Mesfun |
| Sprechstunde: Nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.045 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: yonas.mesfun@kit.edu | ||
Die Vorlesung befasst sich mit der Spektraltheorie linearer Operatoren auf Banachräumen. Dabei werden Begriffe wie Eigenwerte und Normalformen von Matrizen für lineare Operatoren auf unendlichdimensionalen Banachräumen verallgemeinert. Es werden Eigenschaften des Spektrums von Differential- und Integraloperatoren und ihrer zugehörigen Resolventenabbildungen untersucht sowie Spektralprojektionen und Zerlegungen in invariante Unterräume konstruiert. Außerdem werden sogenannte Funktionalkalküle eingeführt, welche algebraische Operationen von Differentialoperatoren erlauben. Mit Hilfe der Fouriertransformation und der Theorie von Sobolevräumen lassen sich Spektraleigenschaften konkreter Differentialoperatoren zeigen.
Die erarbeitete Methodik findet vielfach Anwendung in der Theorie partieller Differentialgleichungen, der mathematischen Physik und der numerischen Analysis.
Inhalt
- Abgeschlossene Operatoren auf Banachräumen
- Spektrum und Resolvente
- Spektraltheorie kompakter Operatoren, Fredholmsche Alternative
- Dunfordscher Funktionalkalkül, Spektralprojektionen
- Fouriertransformation, Sobolevräume
- Unbeschränkte normale und selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen, Spektralsatz
- Sesquilineare Formen, sektorielle Operatoren
- Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen
Empfehlungen
Kenntnisse aus der Vorlesung Funktionalanalysis werden vorausgesetzt.
Prüfung
Die Modulprüfung wird mündlich durchgeführt (Dauer ca. 30 Minuten). Informationen zur Anmeldung werden auf der Ilias-Seite der Vorlesung bereitgestellt.
Literaturhinweise
- J.B. Conway: A Course in Functional Analysis.
- E.B. Davies: Spectral Theory and Differential Operators.
- N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators, Part I.
- T. Kato: Perturbation Theory of Linear Operators.
- W. Rudin: Functional Analysis.
- D. Werner: Funktionalanalysis.