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Arbeitsgruppe Funktionalanalysis
Distributionen

Distributionen (Wintersemester 2004/05)

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie der Distributionen.

Termine
Vorlesung: Montag 14:00-15:30 Seminarraum 34
Donnerstag 11:30-13:00 Seminarraum 13

Distributionen sind "verallgemeinerte Funktionen". Wir verdanken L. Schwartz (Mitte des vorigen Jahrhunderts) die mathematische Präzisierung dieses Begriffs, deren Grundgedanke sich so skizzieren lässt: Statt einer z.B. stetigen Funktion f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} wird die lineare Abbildung T_f:\varphi\mapsto\int f(x)\varphi(x)\,dx betrachtet, wobei der Vektorraum der "Testfunktionen" \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sowie ein entsprechender Stetigkeitsbegriff geeignet zu wählen sind. Zur Motivation des Begriffs der Distributionen seien exemplarisch zwei Probleme genannt, die sich im Rahmen der mathematischen Theorie der Distributionen lösen lassen:

  1. Eine stetige Funktion f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ist im allgemeinen nicht differenzierbar. Hingegen ist die zugehörige Distribution T_f (wie im übrigen jede Distribution) beliebig oft differenzierbar.
  2. Die (um einiges ältere) "Dirac-Funktion" \delta der Physiker ist eine Distribution. Eine \delta entsprechende Funktion f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} müsste f(x)=0 für alle x\neq 0, sowie \int f(x)\,dx=1 genügen. Eine solche Funktion existiert nicht.

Viele der für Funktionen bekannten Operationen lassen sich auch für Distributionen erklären, wobei dann meist ähnliche Rechenregeln gelten. Als Hilfsmittel finden Distributionen vielfältige Anwendungen z.B. in der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, der Fourier-Analysis, der Physik oder der Elektrotechnik. Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Theorie der Distributionen, sowie Anwendungen aus den Bereichen Differentialgleichungen, Fourier- und Laplacetransformation.

Voraussetzungen: Vordiplom

Literaturhinweise

  1. W. Rudin: Functional Analysis, Mc-Graw Hill 1973 (hierin der Part II).
  2. L. Schwartz: Theorie des distributions, Hermann, Paris 1966.
  3. W. Walter: Einführung in die Theorie der Distributionen, 3. Auflage, B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994.