Webrelaunch 2020

Dynamik und Zufall: Stochastische Differentialgleichungen (Sommersemester 2010)

Termine
Vorlesung: Dienstag 9:45-11:15 SR 2
Freitag 9:45-11:15 SR 2
Übung: Freitag 14:00-15:30 1C-03
Lehrende
Dozent Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Sprechstunde: Freitags, 11:45 bis 13:15 Uhr und nach Vereinbarung.
Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter Dr. Christoph Kriegler
Sprechstunde:
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
Email: christoph.kriegler@kit.edu

Dynamik und Zufall: Stochastische Differentialgleichungen

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Inhalt:

$(1)\qquad dX(t) = b(X(t)) dt + \sigma(X(t)) dW(t)$

Eine gewöhnliche Differentialgleichung X'(t) = b(X(t)) beschreibt das rein deterministische Verhalten eines Systems. Dagegen ist es für viele technische oder physikalische Systeme (wie z.B. bei der Übertragung elektronischer Signale oder der Bildung von Wasserwellen in den Weltmeeren unter Windeinfluss) notwendig, zufällige Störungen durch „weißes Rauschen“ oder einen lösungsabhängigen stochastischen Term \sigma(X(t))\, W(t) zu berücksichtigen. Bei Modellen der Finanzmathematik steht dieser stochastische Anteil ganz im Vordergrund.
In der Vorlesung werden zunächst die notwendigen mathematischen Grundlagen für stochastische Differentialgleichungen eingeführt: die Brownsche Bewegung, stochastische Integrale und Martingale. In diesem Rahmen werden dann die Lösungen der Gleichung (1) konstruiert und ihre Eigenschaften als stochastische Prozesse untersucht. Zur Illustration werden Anwendungsbeispiele aus der Finanzmathematik und Wellenphänomene in der Technik und Physik diskutiert. Schließlich wird der Zusammenhang mit Diffusionsgleichungen erklärt.

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Literatur:

J.M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations
O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability Theory