KIT - Fakultät für Mathematik - Evolutionsgleichungen (Wintersemester 2013/14)

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Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Evolutionsgleichungen

Evolutionsgleichungen

Evolutionsgleichungen (Wintersemester 2013/14)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Vorlesung (0105900), Übung (0106000)
Semesterwochenstunden: 4+2

Termine
Vorlesung:	Dienstag 9:45-11:15	1C-02	Beginn: 22.10.2013
	Freitag 9:45-11:15	1C-02
Übung:	Mittwoch 15:45-17:15	1C-02	Beginn: 30.10.2013

Lehrende
Dozent	Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
	Sprechstunde:
	Zimmer 2.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter	Dr. Markus Antoni
	Sprechstunde: nach Vereinbarung
	Zimmer 2.044 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: markus.antoni@kit.edu

Zum Inhalt

Die unten angezeigte Beschreibung erhalten Sie auch als PDF.

Sei $A$ ein abgeschlossener linearer Operator auf einem Banachraum $X$ . Das Cauchyproblem

$(1)~~~~~y'(t)=Ay(t),~~~~~~~y(0)=y_0,$

hat genau dann eine klassische Lösung für alle $y_0$ aus dem (dichten) Definitionsbereich von $A$ , falls $A$ eine Halbgruppe $T(t)$ erzeugt, d.h. eine Exponentialfunktion $T(t)=e^{tA},~t\geq 0,$ von beschränkten Operatoren auf $X$ mit den Eigenschaften

$T(0)= Id,$
$T(t+s)=T(t)T(s)$ für $t,s\geq0,$
$T(t)x\rightarrow x$ für $t\to 0$ und $x\in X$ .

Mithilfe der Halbgruppe $T(t)$ werden dann Regularitätseigenschaften der linearen Gleichung (1) untersucht. Wir betrachten sowohl parabolische Evolutionsgleichungen (1), die die Wärmeleitungsgleichung verallgemeinern, als auch hyperbolische Gleichungen, zu denen die Schrödingergleichung und die Wellengleichung gehören.

Mithilfe dieser Regularitätsabschätzungen lassen sich nichtlineare Gleichungen

$y'(t)=Ay(t)+N(y(t)),~~~~~~~y(0)=y_0,$

auf ein Fixpunktproblem

$y(t)=T(t)y_0+\int_0^tT(t-s)N(y(s))ds$

zurückführen.

Übungsblätter

1. Übungsblatt		zu Aufgabe 2
2. Übungsblatt		zu Aufgabe 4
3. Übungsblatt
4. Übungsblatt
5. Übungsblatt		zu Aufgabe 10
6. Übungsblatt
7. Übungsblatt
8. Übungsblatt
9. Übungsblatt
10. Übungsblatt
11. Übungsblatt
12. Übungsblatt

Literaturhinweise

K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000
A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1983