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Evolutionsgleichungen (Wintersemester 2013/14)

Termine
Vorlesung: Dienstag 9:45-11:15 1C-02 Beginn: 22.10.2013
Freitag 9:45-11:15 1C-02
Übung: Mittwoch 15:45-17:15 1C-02 Beginn: 30.10.2013
Lehrende
Dozent Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Sprechstunde: Freitags, 11:45 bis 13:15 Uhr und nach Vereinbarung.
Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter Dr. Markus Antoni
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.044 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: markus.antoni@kit.edu

Zum Inhalt

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Sei A ein abgeschlossener linearer Operator auf einem Banachraum X. Das Cauchyproblem

$(1)~~~~~y'(t)=Ay(t),~~~~~~~y(0)=y_0,$

hat genau dann eine klassische Lösung für alle y_0 aus dem (dichten) Definitionsbereich von A, falls A eine Halbgruppe T(t) erzeugt, d.h. eine Exponentialfunktion T(t)=e^{tA},~t\geq 0, von beschränkten Operatoren auf X mit den Eigenschaften

  • T(0)= Id,
  • T(t+s)=T(t)T(s) für t,s\geq0,
  • T(t)x\rightarrow x für t\to 0 und x\in X.

Mithilfe der Halbgruppe T(t) werden dann Regularitätseigenschaften der linearen Gleichung (1) untersucht. Wir betrachten sowohl parabolische Evolutionsgleichungen (1), die die Wärmeleitungsgleichung verallgemeinern, als auch hyperbolische Gleichungen, zu denen die Schrödingergleichung und die Wellengleichung gehören.

Mithilfe dieser Regularitätsabschätzungen lassen sich nichtlineare Gleichungen

$y'(t)=Ay(t)+N(y(t)),~~~~~~~y(0)=y_0,$

auf ein Fixpunktproblem

$y(t)=T(t)y_0+\int_0^tT(t-s)N(y(s))ds$

zurückführen.



Literaturhinweise

  • K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000
  • A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1983